Лекция 9
8.1 Интерполяция и экстраполяция результатов измерений
Дискретное представление непрерывной информации есть процесс преобразования функции непрерывного времени λ(t) в функцию дискретного времени λi, представляемую совокупностью координат (величины), по значениям которых может быть получена оценка исходной непрерывной информации λ*(t).
В самом общем случае дискретное представление непрерывной информации λ(t) на интервале Т совокупностью координат сообщения λ0,...λn и последующее восстановление по ним исходной информации λ*(t) можно записать соответственно в виде
(λ0,λ1,…,λn)=Aλ(t) (9.1)
λ*(t)=B(λ0,λ1,…,λn) (9.2)
где А - оператор представления; В - оператор восстановления; λ(t)-λ*(t)=εПР(t) - текущая погрешность дискретного представления.
Операция (9.1) выполняется устройством, называемым дискретизатором, а операция (9.2) устройством восстановления сообщений источника.
Различают два способа дискретного воспроизведения исходной непрерывной информации: воспроизведение с интерполяцией или с экстраполяцией.
В соответствии с этим признаком методы дискретизации делятся на два класса: интерполяционные и экстраполяционные.
Методы дискретизации с экстраполяцией, воспроизводящих функций не требуют задержки сигналов в пределах интервала дискретности. Следовательно, они могут использоваться в системах, работающих в реальном масштабе времени (например - в управляющих системах).
Дискретизация с интерполяцией требует задержки сигналов на интервал интерполяции.
9.2 Интерполяция результатов измерений
Дискретная последовательность отсчетов (чисел) может быть оценена с точки зрения потерь информации о пропущенных мгновенных значениях исходной величины путем рассмотрения операции так называемого восстановления исходного сигнала.
Операция восстановления исходного сигнала реализуется в устройствах передачи данных, в системах цифрового управления и в других случаях, когда выходной сигнал принципиально должен быть непрерывен во времени. Казалось бы, для измерительной техники операция восстановления не нужна, поскольку с получением результата (числа) операцию измерения данного мгновенного значения можно считать законченной. Однако это справедливо только с точки зрения оценки данного результата, т.е. отдельного сообщения в потоке измерительной информации. Для оценки результатов измерения случайного сигнала на некотором интервале времени, т.е. для оценки потока сообщений, рассмотрение операции восстановления исходного сигнала оказывается необходимым, поскольку позволяет выявить дополнительные потери информации при дискретизации.
Оценка погрешностей восстановления исходного сигнала необходима в случае косвенных или совокупных измерений, когда искомая физическая величина определяется по результатам измерений нескольких исходных величин, мгновенные значения которых могут не совпадать во времени.
Кроме того, при наблюдении за последовательностью отсчетов, соответствующих случайному сигналу, по цифровым индикаторным устройствам или диаграмме оператор интуитивно осуществляет операцию восстановления (обычно методам ступенчатой экстраполяции). Следовательно, задача формулируется следующим образом. Задана последовательность дискретных во времени отсчетов, полученных в результате дискретизации реализации непрерывного процесса Х(t). По этим отсчетам требуется восстановить исходный процесс с заданной точностью с помощью
интерполяции или экстраполяции.
Для этого необходимо предварительно подобрать на данном участке реализации исходного процесса восстанавливающую функцию. Затем с помощью этой аппроксимирующей функции, задавая значение аргумента между точками отсчета, провести интерполяцию. Как правило, для всех участков непрерывного процесса задаются одним и тем же видом восстанавливающей функции (например, прямой, параболой и т.д.), меняются лишь коэффициенты. Исходя из практической реализуемости интерполирующего устройства и стараясь по возможности обеспечить простоту его изготовления, обычно выбирают в качестве аппроксимирующих простые функции, что и обусловливает несовершенство интерполяции.
Критерии, по которым оценивается точность восстановления, весьма различны. Принципиально различают приближение в отдельных узловых точках и по всей оси времени. Текущее значение погрешности восстановления есть случайный процесс, зависящий от исходного непрерывного процесса Х(t), расстояния между отсчетами восстанавливающей функции и точности, с которой берутся отсчеты. Для оценки характеристик этого процесса могут быть использованы обычные статистические характеристики случайных процессов, однако чаще всего употребляются текущие, средние и максимальные по интервалу интерполяции значения двух величин – интерквантильной оценки и среднеквадратического отклонения.
В настоящее время в измерительной технике в основном используется ступенчатая интерполяция, если задержка с выдачей результатов недопустима. Примером устройства со ступенчатой интерполяцией может быть любой цифровой измерительный прибор, у которого цифры на световом табло изменяются через определенные интервалы времени. Если допустима задержка в выдаче результатов измерения на один такт Т, то возможна линейная интерполяция. Более сложные виды восстанавливающих функций, как правило, целесообразны только для отдельных наиболее интересных участков и при наличии ЭВМ для обработки данных измерения, так как вычисления по ним громоздки.
Простейшие виды интерполяции показаны на риc.23.
Рис. 23 Виды интерполяций:
а-ступенчатая; б-ступенчатая со «сдвигом на полшага» (задержкой на 0,5Т); в-параболическая второго порядка; г-параболическая третьего