

44. Теорема Умова - Пойнтинга о сохранении энергии в электромагнитном поле.
Теорема Умова – Пойнтинга о сохранении энергии в электромагнитном поле. В произвольном объёме V сосредоточена энергия, равная:
W = ∫ |
(ε E 2 |
+ |
μ H 2 |
)dV . |
(0.1) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
V |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из первого и второго уравнений Максвелла имеем: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ε ∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E |
μ ∂H |
= −rot |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= rotH |
|
− |
|
j |
, |
E |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|||||||||||||||||
Умножая скалярно первое равенство на |
|
|
|
и складывая, получим: |
|||||||||||||||||||||||||||||
E |
, а второе на H |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ε |
|
E |
∂H |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
E |
+ μ H |
E |
rotH |
− HrotE − Ej |
. |
(0.2) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определения векторного произведения следует:
ErotH − HrotE = −div(E × H ) ,
учитывая, что:
|
|
∂ |
|
|
1 ∂ |
|
|
|
1 ∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
E |
|
|
|
|
|
∂H |
|
1 ∂ |
|
|
|
1 ∂ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
E |
∂t = |
|
|
|
(E 2 ) = |
|
|
|
(E 2 ), H |
∂t = |
|
|
|
(H 2 ) = |
|
|
|
(H 2 ) , |
||||||||||
2 |
∂t |
2 |
∂t |
2 |
∂t |
2 |
∂t |
перепишем (1.75) в виде:
∂ |
(ε E2 |
+ μ H 2 |
) = −div( |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
× H |
) − |
jE , |
||||||||
|
|||||||||||
∂t 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
интегрируя по объёму и меняя знак, получим:
|
d |
|
ε E2 |
μ H 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
− |
|
∫ |
+ |
|
dV = ∫ jEdV + ∫ div(Π)dV = ∫ jEdV + ∫ ΠdS |
(0.3) |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
dt |
V |
2 |
2 |
|
V |
|
V |
|
V |
|
S |
|
где вектор Пойнтинга:
Π = E × H .

Рис. 23. Взаимная ориентация векторов напряжённости электрического поля, напряжённости магнитного поля и вектора Пойнтинга.
Энергия электромагнитного поля в каждой точке движется по нормали к плоскости
векторов E и H в сторонну поступательного перемещения правого винта, вращаемого от
вектора E к вектору H на наименьший угол. Количество энергии, протекающей через единичный участок этой плоскости в единицу времени:
Π = EH sin(E, H ) .

Рис. 24. Возможные направления вектора Пойнтинга при убывани и энергии в объёме V.

Рис. 25. Возможные напрравления вектора Пойнтинга при увеличении энергии в объёме V.
В проводнике с током (рис. 25) вектор напряжённости магниитного поля к его поверхности, вектор напр яжённости электрического поля E имеет нормальную En и
тангенциальную Etg составляющие, причём последняя направлена так же, как ток.
Поэтому вектор Пойнтинга у поверхности имеет вид:
Π = E × H = Π1 + Π2 = (En × H ) + (Etg × H ) .
Первое слагаемое вектора Пойнтинга Π1 = (En × H ) направлено вдоль проводника и определяет энергию перреносимую вдоль проводника. Второе слаггаемое Π2 = (Etg × H )
направлено вглубь проводника, на постоянном токе это энергия, переходящая в тепло. Т.о. энергия, переносимая вдоль проводника определяется нормальной составляющей вектора напряжённости электрического поля E , а энергия, входящая в проводник (потери)
определяется тангенциальной составляющей.

Рис. 26. Поле на поверхности проводника с током.
Рис. 27. Движение энергии внутри проводника с током.
Рассчитаем поток энергии, входящей в проводник на участке длиной l. Проводник имеет форму цилиндра с радиусом a и по нему течёт ток I. На рис. 27. показано направление векторов Etg , H , Π2 у поверхности проводника. Т.к. Etg и H

перпендикулярны друг к другу, касательны к поверхности проводника и одинаковы во всех точках проводящей поверхности, то поток мощности внутрь проводника равен:
P = |
∫ |
( |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
= E H 2πal, E = |
j |
= |
I |
, H = |
I |
, |
||
E |
´ H |
)dS = E H |
dS |
||||||||||||||||
|
πa2 g |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
tg |
tg |
g |
2πa |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где: S - поверхность проводника, j - плотность тока в проводнике. Т огда:
P = |
j |
|
I |
2πal = j |
I × l |
= |
I |
|
I × l |
= I 2 |
l |
= I 2 R . |
g 2πa |
|
|
|
gπa2 |
||||||||
|
|
g |
πa2 g |
|
Поток электромагнитной энергии равен количеству тепла, выделенному по закону Джоуля – Ленца.
Передача энергии вдоль линии постоянного тока. На рис. 28 а) схема линии, на рис. 28 б) силовые линии поля в поперечном сечении. Если сопротивленние линии равно нулю, у поверхности проводов вектор напряжённости электрического полля имеет только нормальную составляющую. У потребителя R основной составляющей напряжённости
электрического поля является тангенциальная. Направление векторов E и H вблизи верхнего и нижнего проводов таково, что в обоих случаях вектор Пойнтинга направлен от источника к потребителю.
Рис. 28. Движение энергии вдоль линии постоянного тока. а) схема линии, б) силовые линии поля в поперечном сечении.
Энергия течёт к наагрузке в диэлектрике, окружающей провода, энергия вошедшая в провод (если его сопроттивление ненулевое), целиком превращается в тепло. Т.о. провода являются направляющими для передачи энергии в диэлектрике.