44. Теорема Умова - Пойнтинга о сохранении энергии в электромагнитном поле.

Теорема Умова – Пойнтинга о сохранении энергии в электромагнитном поле. В произвольном объёме V сосредоточена энергия, равная:

W =

(ε E 2

+

μ H 2

)dV .

(0.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из первого и второго уравнений Максвелла имеем:

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

μ H

= −rot

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= rotH

 

 

j

,

E

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

Умножая скалярно первое равенство на

 

 

 

и складывая, получим:

E

, а второе на H

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

E

H

 

E

+ μ H

E

rotH

HrotE Ej

.

(0.2)

 

 

 

t

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из определения векторного произведения следует:

ErotH HrotE = −div(E × H ) ,

учитывая, что:

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

H

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

t =

 

 

 

(E 2 ) =

 

 

 

(E 2 ), H

t =

 

 

 

(H 2 ) =

 

 

 

(H 2 ) ,

2

t

2

t

2

t

2

t

перепишем (1.75) в виде:

(ε E2

+ μ H 2

) = −div(

 

 

 

 

 

 

 

E

× H

)

jE ,

 

t 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

интегрируя по объёму и меняя знак, получим:

 

d

 

ε E2

μ H 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

dV = jEdV + div(Π)dV = jEdV + ΠdS

(0.3)

 

 

 

dt

V

2

2

 

V

 

V

 

V

 

S

 

где вектор Пойнтинга:

Π = E × H .

Рис. 23. Взаимная ориентация векторов напряжённости электрического поля, напряжённости магнитного поля и вектора Пойнтинга.

Энергия электромагнитного поля в каждой точке движется по нормали к плоскости

векторов E и H в сторонну поступательного перемещения правого винта, вращаемого от

вектора E к вектору H на наименьший угол. Количество энергии, протекающей через единичный участок этой плоскости в единицу времени:

Π = EH sin(E, H ) .

Рис. 24. Возможные направления вектора Пойнтинга при убывани и энергии в объёме V.

Рис. 25. Возможные напрравления вектора Пойнтинга при увеличении энергии в объёме V.

В проводнике с током (рис. 25) вектор напряжённости магниитного поля к его поверхности, вектор напр яжённости электрического поля E имеет нормальную En и

тангенциальную Etg составляющие, причём последняя направлена так же, как ток.

Поэтому вектор Пойнтинга у поверхности имеет вид:

Π = E × H = Π1 + Π2 = (En × H ) + (Etg × H ) .

Первое слагаемое вектора Пойнтинга Π1 = (En × H ) направлено вдоль проводника и определяет энергию перреносимую вдоль проводника. Второе слаггаемое Π2 = (Etg × H )

направлено вглубь проводника, на постоянном токе это энергия, переходящая в тепло. Т.о. энергия, переносимая вдоль проводника определяется нормальной составляющей вектора напряжённости электрического поля E , а энергия, входящая в проводник (потери)

определяется тангенциальной составляющей.

Рис. 26. Поле на поверхности проводника с током.

Рис. 27. Движение энергии внутри проводника с током.

Рассчитаем поток энергии, входящей в проводник на участке длиной l. Проводник имеет форму цилиндра с радиусом a и по нему течёт ток I. На рис. 27. показано направление векторов Etg , H , Π2 у поверхности проводника. Т.к. Etg и H

перпендикулярны друг к другу, касательны к поверхности проводника и одинаковы во всех точках проводящей поверхности, то поток мощности внутрь проводника равен:

P =

(

 

 

 

 

 

 

 

= E H al, E =

j

=

I

, H =

I

,

E

´ H

)dS = E H

dS

 

πa2 g

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

 

tg

tg

g

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где: S - поверхность проводника, j - плотность тока в проводнике. Т огда:

P =

j

 

I

al = j

I × l

=

I

 

I × l

= I 2

l

= I 2 R .

g a

 

 

 

gπa2

 

 

g

πa2 g

 

Поток электромагнитной энергии равен количеству тепла, выделенному по закону Джоуля – Ленца.

Передача энергии вдоль линии постоянного тока. На рис. 28 а) схема линии, на рис. 28 б) силовые линии поля в поперечном сечении. Если сопротивленние линии равно нулю, у поверхности проводов вектор напряжённости электрического полля имеет только нормальную составляющую. У потребителя R основной составляющей напряжённости

электрического поля является тангенциальная. Направление векторов E и H вблизи верхнего и нижнего проводов таково, что в обоих случаях вектор Пойнтинга направлен от источника к потребителю.

Рис. 28. Движение энергии вдоль линии постоянного тока. а) схема линии, б) силовые линии поля в поперечном сечении.

Энергия течёт к наагрузке в диэлектрике, окружающей провода, энергия вошедшая в провод (если его сопроттивление ненулевое), целиком превращается в тепло. Т.о. провода являются направляющими для передачи энергии в диэлектрике.

Соседние файлы в папке Новая папка