Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / Новая папка / 48

подставляя, получим:

Вводя обозначение:

v = 1εμ ,

получим волновое уравнение:

Обозначив:

ξ= z , v

получим:

Решением этого уравнения являются произвольные функции F1 (t −ξ) и F2 (t +ξ) ,

т.к.

Каждое частное решение F1 (t −ξ) и F2 (t +ξ) являются волновыми функциями или волнами. Рассмотрим F1 (t1 −ξ1 ) и F1 (t2 −ξ2 ) . Если

т.е. значения функции F1 (t − zv) распространяются в положительном направлении оси z

со скоростью v.

Поверхность, на которой волновая функция в заданный момент времени принимает одинаковые значения, называется волновой функцией, она совпадает с поверхностью равных значений аргумента, или фазы волновой функции.

Уравнение волновой поверхности:

t = z = const , v

это – плоскость z=const, движущаяся вдоль оси z в положительном направлении со скоростью v. Т.е. F1 (t - zv) - плоская волна. Частное решение F2 (t + zv) также плоская

волна, которая движется вдоль оси z в отрицательном направлении со скоростью v. Аналогично:

Подставим Ex и Hy в первое уравнение:

Чтобы равенство выполнялось при любых значениях t и z, положим:

εF2 (t + z ) = - 1 Y2 (t + z )

vv v

откуда:

волновое сопротивление среды:

Z0 = με .

В вакууме диэлектрическая проницаемость равна электрической постоянной ε0:

магнитная проницаемость равна магнитной постоянной µ0:

μ0 = 4π10−7 =1.256637*10-6 Гн×м-1 ,

скорость распространения волн v равна скорости света:

для произвольной среды:

Решение уравнения Максвелла представляет собой наложение двух плоских волн, движущихся вдоль оси z в противоположных направлениях, они называются прямой и обратной волнами. Эти волны – поперечного типа: электрический и магнитный векторы лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Рис. 8. Ориентация векторов в плоской волне: а) прямая, б) обратная.

Прямая волна:

обратная волна:

справедливо соотношение:

Отсюда следует, что и для прямой и для обратной волны ко личества энергии, запасённой в электрическом и магнитном полях равны друг другу:

Вектор Пойнтинга прямой волны направлен по оси z, вектор Пойнтинга обратной волны – в противоположном направлении.

Скорость движения энергии vЭН совпадает со скоростью движения волновой поверхности v. Если прямая волна распространяется в направлении оси z, то за промежуток времени dt через участок S плоскости, перпендикулярной оси z, пройдёт количество энергии dW, равное её величине, заключённой в параллелепипеде длиной vЭНdt и сечением S, т.е.

или учитывая предыдущее равенство:

dW = ε E2 vЭН dtS ,

с другой стороны, эта величина рассчитывается с помощью вектора Пойнтинга:

таким образом:

Общее решение системы А является наложением прямой и обратной (падающей и отражённой) волн. В случае бесконечного пространства отражённой волны нет.

Рассмотрим падающую волну, когда электромагнитное поле в точке z=0 меняется во времени по гармоническому закону sint (иногда cost) или в символическом изображении по закону ejωt. Поле в произвольной точке z представляется в виде:

Зависимость составляющих поля E и H от времени в фиксированной точке z.

Зависимость E и H от z в фиксированный момент времени.

Отсюда видно, что в любой фиксированной точке z составляющие поля имеют не зависящие от z амплитуд ы Eп и Hп=Eп/Z0 и различные фазы. С увеличением z имеет место отставание фазы на велич ину kz. Поэтому коэффициент k называю т фазовым множителем или коэффициентом фазы . Т.к. величина k=ω/v=2π/λ, где λ - длина волны, определяемая как расстояние, на которо м фаза меняется на 2π, то k называется волновым числом. На рисунках показаны: завис имость составляющих поля E и H от времени в фиксированной точке z и зависимость E и H от z в фиксированный момент времени. В последующие моменты времени распределение вдоль оси z будет меняться так, как если бы кривые

перемещались вдоль положительного направления оси z со скоростью v. Это – бегущая волна.

Ориентация векторов напряжённости электрического и магнитн ого полей и вектора Пойнтинга.

Рис. 8. Ориентация векторов в плоской волне: а) прямая, б) обратная.