12. Метод комплексных амплитуд расчёта цепей синусоидальных токов. Взаимосвязь синусоидальной функции времени и его изображения в виде комплек сного числа.
Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи, нап ряжения, ЭДС и т. д. векторами или комплексными числами.
Предположим, что некоторая величина (ток, напряжение, магнитный поток и т. п.) изменяется по синусоидальному закону:
v=Vmsin(ωt+ψ).
Возьмем прямоугольную систему осей МОN (рис. 6.4). Расположим под углом ψ относительно горизонтальной оси ОМ вектор Vm, длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде Vm (пол ожительные углы ψ откладываются против, а отрицательные — по часовой стрелке). Представим себе, что вектор Vm с момента t=0 начинает вращаться вокруг начала координат О против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте ω . В момент времени t вектор составит с осью ОМ угол ωt+ψ. Его проекция на ось N′N равна в выбранном масштабе мгновенному значению рассматриваемой величи ны v.
Мгновенные значения v как проекции вектора на ось N′N можно получить и другим путем, оставляя вектор V m неподвижным и вращая, начиная с момента t=0, ось N′N по часовой стрелке с угловой скоростью ω. В этом случае вращающую ся ось N′N называют
линией времени.
Таким образом, между мгновенным значением v и вектором Vm можно установить
однозначную связь. На этом основании вектор Vm называют вектором, изображающим синусоидальную функцию времени, или, кратко, вектором величины v. Так, например,
говорят о векторах напряжения, ЭДС, тока, магнитного потока и т. д. Конечно, эти векторы имеют смысл, отличный от смысла векторов, определяющих физические величины в пространстве, к которым относятся векторы скорости, силы, ускорения, напряженности электрического поля и т. п.
Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, будем обозначать подчеркнутыми прописными (большими) буквами. Совокупность векторов, изображающих рассматриваемые синусоидальные функции времени, называется
векторной диаграммой.
Если считать оси ММ' и NN′ осями действительных и мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор Vm соответствует комплексному числу, модуль которого равен Vm и аргумент — углу ψ. Это комплексное число Vm называется комплексной амплитудой рассматриваемой величины.
Комплексную амплитуду можно записать в полярной, показательной,
тригонометрической и алгебраической формах:
V m = Vm Ðψ = Vm e jψ = Vm (cosψ + j sinψ ) = Vm¢ + jVm¢¢ , (6.5)
где j = 
- 1 .
Если вектор Vm, начиная с момента времени t=0, вращается против часовой стрелки с угловой скоростью ω, то ему соответствует комплексная функция времени, которая называется комплексной мгновенной величиной:
v = Vme j (ωt +ψ ) = Vm cos(ωt +ψ) + jVm sin(ωt +ψ) m .
Значение ее мнимой части равно рассматриваемой синусоидально изменяющейся величине v.
Таким образом, величина v и ее изображение — комплексная амплитуда —
однозначно связаны следующим равенством:
v = Im[Vm e j (ωt +ψ ) ] = Im[Vm e jψ e jωt ] = Im[V m e jωt ] , (6.6)
где символ Im обозначает, мнимую часть комплексной функции времени, записанной в квадратных скобках.
Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин, методом комплексных амплитуд или комплексным методом расчета.
Комплексный метод был введен в электротехнику американским ученым и инженером Ч. П. Штейнметцем.