4. Булева алгебра, тотожні перетворення
Множина всіх булевих функцій разом з операціями заперечення, кон’юнкції, диз’юнкції утворюють булеву алгебру. Справедливі наступні тотожності булевої алгебри:
Комутативність
x y=y x;
x y=y x.
Асоціативність
x (y z)=(x y) z;
x (y z)=(x y) z.
Дистрибутивність
x (y z)=(x y) (x z);
x (y z)=(x y) (x z).
Властивість констант
x 0= x;
x 1= x.
Властивість заперечення
x =1;
x =0.
Закони де Моргана
;
.
Закони поглинання
x (x y) = x (x y)= x.
Закони ідемпотентності
x x=x x=x,
а також тотожності
x ( y) = x y;
(x
y)
(x
z)
(y
)=(x
z)
(y
);
;
;
;
x
1= 1;
x
0= 0
та ін.
Доведемо закон ідемпотентності x x=x x=x;
Доведення
x x=x x 1=(x x) 1=(x x) (x )=x (x )=x 0=x;
x x=x x 0= (x x) 0=(x x) (x )=x (x )=x(x )= x 1=x.
Доведемо, що x 1= 1.
Доведення
x 1=x (x )=(x x) =x =1.
Доведемо, що x 0= 0.
Доведення
x 0= x (x )=(x x) =x =0.
Доведемо закон поглинання x (x y) = x (x y)= x.
Доведення
x (x y) =( x 1) (x y) = x (1 y)= x 1=x;
x (x y)= (x 0) (x y)= x ( 0 y)= x ( y 0)= x 0 =x.
Доведемо, що
.
Доведення
x
=1,
за законом комутативності випливає, що
x=1,
порівнюючи
=1,
маємо x=
.
Доведемо закони
де Моргана
.
Доведення
На основі властивостей
заперечення рівності функцій
та
повинно означати , що
(x y)( )=1 та (x y)( )=0. Дійсно, (x y)( ) =
=
((x
y)
)((x
y)
)=((x
)
y)(x(y
))=(1
y)(
x1)=11=1;
(xy)( )=(x ( ))(y( ))=((x ) ) ((y ) )=(0 ) (0 )=( 0)( 0)=00=0.
Отже, співвідношення
доведено. Аналогічно доводиться другий
закон.
Операції
диз’юнктивності й кон’юнктивності
задовольняють закони комутативності
та асоціативності, тому якщо змінні
пов’язані безпосередньо однією із цих
операцій, то їх можна виконувати в
будь-якому порядку, а формули записувати
без дужок. Операцію кон’юнкції часто
називають логічним множенням, а операцію
диз’юнкції
логічним додаванням. Ще одне спрощення
можна допустити, знак кон’юнкції у
формулах можна опустити і замість x
y писати
xy.
5. Висловлення. Предикати
Нехай x1 і x2 — деякі висловлювання, які можуть бути істинними (1) або хибними (0). Наприклад, “Я піду до театру” (x1) та “Я зустріну друга” (x2). Диз’юнкцією є складне висловлення (x1 x2) “Я піду до театру або зустріну друга”, а кон’юнкцією (x1 x2) “Я піду до театру й зустріну друга”. Зрозуміло: якщо висловлення істинне, то його заперечення хибне. Складне висловлення, утворене диз’юнкцією двох висловлень, істинне за умови, що істинне хоча б одне з них. Складне висловлення, утворене кон’юнкцією двох істинних висловлень, істинне за умови, якщо обидва висловлення істинні одночасно. Отже, висловлення можна розглядати як двійкові змінні, а зв’язки “не”, “або”, “і”, за допомогою котрих утворюються складні висловлення , як операції над цими змінними.
В алгебрі висловлювань використовують ще дві операції: імплікація x1 x2, що відповідає “якщо, то” (таблиця 2.5.1)
Таблиця 2.5.1
-
X1
x2
0
1
0
1
1
1
0
1
x1 x2
та еквіваленція x1 x2, що відповідає “тоді й тільки тоді” (таблиця 2.5.2).
Таблиця 3.5.2
-
X1
x2
0
1
0
1
0
1
0
0
x1 x2
У нашому прикладі імплікацією буде висловлення “Якщо я піду до театру, то зустріну друга”, а еквіваленцією “Я піду до театру тоді й тільки тоді, якщо зустріну друга”. Позначивши буквами прості висловлення, можна представити складні висловлення формулою за допомогою простих зв’язок.
Приклад: “Якщо тиск масла на кульку клапана більший, ніж зусилля його пружини (x1), то масло відкриває клапан (x2) і частково перетікає з нагнітальної порожнини у впускну (x3)”. Виразу відповідає формула x1 x2x3.
Предикати. Зазвичай висловлення виражають властивості одного або декількох об’єктів. Змістовна частина висловлення визначає властивості сукупності обєктів, для яких це висловлення істинне, й називається предикатом. Наприклад, висловлення “Іванов відмінник” істинне або хибне залежно від оцінок, котрі має цей студент. У той же час предикат “x – відмінник” визначає підмножину відмінників на деякій множині студентів (група, курс, факультет). Підставивши замість x прізвища студентів, одержимо множину висловлень. Сукупність істинних висловлень і буде відповідати підмножині відмінників.
Предикат являє собою логічну функцію P(x), котра набуває значення (як і булеві функції) 0 або 1. Але на відміну від булевих функцій, значення аргументу x вибираються з деякої множини М об’єктів (xМ). У загальному випадкові така функція може залежати від багатьох аргументів x1, x2,…,xn, що набувають значень з однієї і тієї ж множини або з різних множин. Її записують P(x1, x2,…,xn) та називають n-місним предикатом.
Приклад: “x парне число”, “x компонент ланцюга” – одномісні предикати P(x);
“x брат y”, “x менше” двомісні предикати P(x, y);
“x та y батьки z” тримісний предикат P(x, y, z).
Якщо аргументи x1, x2,…,xn замінені конкретними значеннями (об’єктами), то предикат переходить у висловлення, котра розглядається як 0-місний предикат.
Оскільки предикати здатні набувати лише значення 0 та 1, то їх також можна зв’язувати логічними операціями. У результаті одержимо формули, що визначають більш складні предикати. Так, якщо P(x) – “x інженер”, а Q(x) – “x співробітник нашого відділу”, то P(x)Q(x)=R(x) одномісний предикат “x — інженер і співробітник нашого відділу” або “x – інженер нашого відділу”.
Очевидно, якщо P множина інженерів, а Q – множина співробітників даного відділу, то цей предикат відповідає перетину P Q. Отже, існує тісний звязок між логікою предикатів і операціями над множинами.