Міністерство освіти і науки України

Полтавський національний технічний університет

імені Юрія Кондратюка

Кафедра економічної кібернетики

Скрильник І. І.

Економічна кібернетика

Конспект лекцій

I частина

Полтава 2009

УДК 519.862

Рецензенти: М. В. Лисенко, кандидат фіз.-мат. наук, доцент;

О. Б. Носач, кандидат технічних наук, доцент.

Рекомендовано до друку науково-методичною радою Полтавського національного технічного університету імені Юрія Кондратюка.

Протокол № від 2009 р.

Скрильник І.І. Економічна кібернетика: Конспект лекцій. I частина.  Полтава: ПолтНТУ, 2009.  120 с.

Конспект лекцій призначений для вивчення математичних основ економічної кібернетики студентами факультету менеджменту та бізнесу за спеціальністю “Економічна кібернетика”.

1.  І. І. Скрильник Вступ

Розвиток сучасної економічної науки вимагає від її дослідників застосування нових підходів до вивчення економічних процесів і явищ, які ґрунтуються на використанні математичного апарату, зокрема теорії множин, теорії відношень, булевій алгебрі, теорії графів, теорії лінійного програмування,

Матеріал підручника розрахований у першу чергу на студентів, котрі бажають вивчити математичні методи для використання їх в економічних науках і комп’ютерних технологіях. Математичні методи оброблення, аналізу й перетворення дискретної інформації необхідні в усіх галузях наукової, господарської діяльності та в соціальній сфері.

Студенти повинні навчитися застосовувати на практиці здобуті знання, користуватися розглянутим математичним апаратом і теоретичними положеннями у своїй професійній діяльності.

Викладений матеріал є результатом опрацювання й узагальнення періодичної літератури та містить основні положення з кожної із зазначених тем.

Автор сподівається, що це видання стане у пригоді студентам при підготовці до лабораторних, практичних і лекційних занять.

Лекція 1 Математичний апарат кібернетики (мак): елементи теорії множин. Аналіз систем на основі нечітких множин

1. Основні визначення.

2. Логічні операції над множинами та їх властивості. Тотожні перетворення виразів.

3. Алгебра множин. Пріоритет операцій.

4. Поняття впорядкованої пари й декартового добутку множин.

5. Нечіткі множини. Операції над нечіткими множинами і їх властивості.

6. Аналіз систем на основі нечітких множин.

1. Основні визначення

Одним із рівнів абстрактного опису систем є теоретико-множинний рівень, який спирається на математичну теорію множин. Що ж таке множина? Відповісти на це запитання не так просто, як здається на перший погляд. У повсякденному житті й практичній діяльності часто доводиться говорити про деякі сукупності різних об’єктів: предметів, понять, чисел, символів, наприклад, сукупність деталей механізму, аксіом геометрії, чисел натурального ряду, букв будь-якого алфавіту. На основі інтуїтивних уявлень про подібні сукупності сформувалося математичне поняття множини як об’єднання окремих об’єктів у єдине ціле. Саме такої точки зору дотримувався засновник теорії множин німецький математик Георг Кант.

Множина належить до категорії найбільш загальних основних понять математики. Тому замість строгого визначення часто приймається деяке основне положення про множину та її елементи. Так, група видатних математиків, виступаючи під псевдонімом Н. Бурбаки, виходить із наступного положення: “Множина утворюється з елементів, які мають деякі властивості і знаходяться у деяких відношеннях між собою або елементами інших множин”.

Множина та її елементи. Твердження, що множина А складається з різних елементів a_1,a_2,…,a_n із тільки з цих елементів, умовно записується A={a_1,a_2,…,a_n}. Належність елемента множини (відношення належності) позначається символом , тобто a₁A, a₂A,...a_nA, або коротше a_1,a_2,…,a_nA. Якщо b не є елементом А, то пишуть bА .

Дві множини A і В рівні (тотожні), A = В, тоді й тільки тоді, коли кожний елемент A є елементом В, та навпаки. Це значить, що множина однозначно визначається своїми елементами.

Множина може містити будь-яку кількість елементів – скінченну або нескінченну. Наприклад, множина цифр 0,1,2,...9, множина сторінок у книзі – скінченні множини. Множина натуральних чисел, множина кіл на площині – приклад нескінченних множин. Однак не потрібно пов’язувати математичне поняття “множина” зі звичайним уявленням про множину як про велику кількість. Так, одинична множина (одноелементна) містить лише один елемент. Більш того, вводиться також поняття пустої множини. Пусту множину позначаємо символом .

Роль пустої множини  аналогічна ролі числа “нуль”. Це поняття можна використовувати для визначення неіснуючої сукупності елементів (наприклад, множина зелених слонів, дійсних коренів рівняння x² + 1 = 0). Більш суттєвою мотивацією введення пустої множини є те, що завчасно не завжди відомо (або взагалі невідомо), чи існують ці елементи, котрі визначають якусь множину. Наприклад, множина виграшів у наступному тиражі спортлото на куплені квитки може бути пустою. Ніхто не знає, чи є пустою, чи ні множина всіх рішень у цілих числах рівняння x³ + y³ + z³ = 30. Без поняття пустої множини в усіх подібних випадках, говорячи про яку-небудь множину, доводилося би додавати “якщо воно існує”.

Множина й підмножина. Множина А, всі елементи якої належать і множині В, називається підмножиною (частиною) множини В. Це відношення між множинами називається включенням та позначається символом , тобто А  В (А включена у В), або В  А (В уключає А). Так, множина конденсаторів електронного ланцюга є підмножиною всіх її компонентів, множина додатних чисел – підмножина множини дійсних чисел.

Відношення А  В допускає і тотожність (А = В ), тобто будь-яку множину можна розглядати як підмножину самої себе (А  А ). Вважають також, що підмножиною будь-якої множини є пуста множина , тобто   А. Одночасне виконання відношення А  В та В  А можливе лише при А = В і, навпаки, А = В, якщо А  В та В  А. Це може служити визначенням рівності двох множин через відношення включення. Поряд з А  В у літературі можна натрапити й на інше позначення А  В. При цьому під А  В розуміють таке відношення включення, яке не допускає рівності А та В (строге включення). Якщо допускається А = В, то пишуть А  В (нестроге включення).

Множина підмножин. Будь-яка непуста множина А має принаймні дві різні підмножини: саму А і пусту множину . Ці підмножини називаються невласними, а всі інші підмножини А  власними (ця термінологія пов’язана зі словами “власне підмножина”, а не зі словом “власність”). Скінченні власні підмножини утворюють різні комбінації по одному, два, три і т.д. елементів цієї множини.

Елементи множини самі можуть бути деякими множинами. Наприклад, книга із множини книг у шафі може розглядатись як множина сторінок. Тут варто звернути увагу на те, що мова йде про елементи множини, а не про підмножини (ніяка сукупність сторінок не може розглядатися як підмножина множини книг).

Множина, елементами якої є всі підмножини множини А, називається множиною підмножин (множиною-степенем) А і позначається через (А). Так, для трьохелементної множини А = {a, b, c} маємо

(А) = {, {a},{ b}, {c}, {a, b},{ b,c},{a,c},{a, b, c} }.

У випадку скінченної множини А, що складається з n елементів, множина підмножин (А) містить 2ⁿ елементів.

Слід підкреслити різницю між відношенням належності та відношенням включення. Як уже зазначалося, множина А може бути своєю підмножиною (А  А), але вона не може входити до складу своїх елементів (А  А). Навіть у випадку одноелементної множини потрібно відрізняти множину А = {a} і її єдиний елемент a. Відношення включення має властивість транзитивності,

якщо А  В та В  С, то А  С.

Відношення належності цієї властивості не має. Наприклад, множина

А = {1, {2,3}, 4} серед своїх елементів містить множину {2,3}, тому можна записати 2, 3  {2,3} і {2,3} А. Але із цього зовсім не слідує, що елементи 2, 3 містяться в А (у наведеному прикладі ми не знаходимо 2 та 3 серед елементів множини А, тобто 2, 3 А).

Як можна задавати множину? Множину A={a_1,a_2,…,a_n} можна задавати простим перерахуванням її елементів. Наприклад, специфікація задає множину деталей виробу, каталог – множину книг у бібліотеці. Але такий спосіб не годиться для нескінченних множин, і навіть у випадку скінченної множини його часто практично не можна реалізувати.

Розглянемо як приклад 16-поверховий будинок із 38-ма вікнами на кожному поверсі. У вечірній час кожне з вікон будинку може бути освітлене або затемнене, тобто перебуває у двох станах. Окремі сукупності освітлених вікон можна розглядати як деякі образи. Рахуючи всі вікна (їх кількість дорівнює 3816=608) різними за їх розміщенням на фасаді, кожний такий образ можна пов’язати з відповідною підмножиною освітлених вікон. Тоді кількість усіх образів дорівнює кількості елементів множини підмножин усіх вікон, тобто 2²⁰⁶10¹⁸³. Одержане число настільки велике, що його важко навіть уявити. Тому, хоч множина всіх образів скінченна і будь-яку з них можна легко визначити, про задання подібних множин перерахуванням не може бути й мови.

Визначальна властивість. Другий спосіб задання множини полягає в описі елементів визначальною властивістю P(x) (формою від x) і є загальним для всіх елементів. Як правило, P(x) – це вираз, у якому щось стверджується про x, або деяка функція змінної x. Якщо при заміні x на a вираз P(a) стає істинним (чи функція у заданій області визначення задовольняється), то a є елементом цєї множини. Множина, задана за допомогою форми P(x), позначається як X = {x|P(x)} або X = {x:P(x)}, причому a{x|P(x)}, якщо P(a) істинне. Наприклад, {x| x² = 2} – множина чисел, квадрат котрих дорівнює двом, {x| x є тварини з хоботом} – множина слонів.

Узагалі, вже у самому визначенні конкретної множини явно чи неявно обмежується сукупність допустимих об’єктів. Так, множину слонів слід шукати серед ссавців, а не серед риб, тим більше – серед планет. Якщо йдеться про множину чисел, котрі діляться на 3, то ясно, що вона є підмножиною цілих чисел. Зручно сукупність допустимих об’єктів зафіксувати явним чином і вважати, що множини, які розглядаються, є підмножинами цієї сукупності. Її називають основною множиною (універсумом) та зазвичай позначають через U. Так, універсумом арифметики служать числа, зоології – світ тварин, лінгвістики – слова.

Якщо множина виділяється із множини А за допомогою форми P(x), то запис {x|xА, P(x)} часто спрощується: {xА| P(x)}. Запис {f(x)| P(x)} означає множину всіх таких y=f(x), для яких існує x, що має властивості P(x). Наприклад, {x²| x – просте число} означає множину квадратів простих чисел.