Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / Новая папка / 17

17. Последовательный R-L-C контур. Резонанс напряжений.

РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ Рассмотрим контур, состоящий из последовательно соединенных сопротивления, индуктивности и

емкости (рис. 1)

Рис. 1. Последовательный контур.

Напомним принятые обозначения:

1.строчными буквами обозначаются мгновенные значения: u, i, uL, uC;

2.заглавными буквами обозначаются действующие значения: U, I, UL, UC;

3.подчеркнутыми заглавными буквами - комплексные действующие значения: U, I, UL, UC.

Входное сопротивление контура:

1

Z = R + j(ωL − ωC ) .

Комплексное действующее значение тока контура имеет вид:

отсюда получается действующее значение тока

Аналогичным образом получаются выражения для действующих значений напряжений на индуктивности (UL, UL) и на емкости (UC, UC).

Условием наступления резонанса напряжений является равенство нулю реактивной составляющей входного сопротивления контура:

При резонансе реактивные сопротивления индуктивности и емкости равны:

эта величина называется характеристическим сопротивлением контура.

Отношение характеристического сопротивления контура к его омическому сопротивлению называется добротностью контура:

Q = ρ .

R

Заметим, что при ω=ω0 отношение действующих значений напряжений на индуктивности и на емкости к действующему значению входного напряжения равно добротности:

U L = U C = Q .

U U

Преобразуем выражение для действующего значения тока контура, вынеся активное сопротивление R за знак радикала а характеристическое сопротивление ρ=ω0L за скобки и учитывая определение Q:

Найдем точки максимумов этих трех кривых.

Очевидно, что при резонансной частоте полное входное сопротивление контура (z=|Z|) минимально и равно активному сопротивлению, тогда действующее значение тока максимально и равно:

приравняв к нулю числитель полученной дроби, уравнение для частоты максимума для действующего значения напряжения на индуктивности:

таким образом, частота максимума действующего значения напряжения на индуктивности равна:

2Q2

ω L = 2Q2 - 1 .

Аналогично, частота максимума действующего значения напряжения на емкости равна:

Отметим, что: wL>w0, wC<w0, wLwC=w02. Если Q<1/Ö2, то wL и wC - мнимые, т.е. кривые UL(w) и UC(w) не имеют максимумов.

Рассмотрим зависимость I(w) (рис. 2). Полосой пропускания называется частотный диапазон w1£w£w2, в котором выполняется условие:

I (ω ) ³ I (ω0 ) . 2

Уравнение для границ полосы пропускания имеет вид:

Это - уравнение четвертого порядка, два корня которого являются границами полосы пропускания и имеют вид (два других корня - отрицательные и не имеют физического смысла):

Легко видеть, что: ω1ω2=ω02.