Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / Новая папка / 8

8. Теорема об активном двухполюснике, применение для расчёта электрических цепей.

ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА Очень важным пр инципом эквивалентности, широко приме няемым при анализе

линейных электрических цепей, является принцип эквивалентног о генератора (теорема об активном двухполюснике, или теорема Гельмгольца — Тевенена). Он формулируется следующим образом: любая линейная электрическая цепь, рассмат риваемая относительно двух выво дов (активный двухполюсник), эквивалентна реальному источнику с ЭДС, равной напряжению между этими выводами при размыкании внешнего участка цепи, подключенного к этим выводам (режим холостого хода), и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению пассивного двух полюсника, получающегося при равенстве нулю всех ЭДС для источников ЭДС и токов для источников тока рассматриваемого двухполюсника. Применимост ь этого принципа к любой линейной электрической цепи доказывается на основании принципов компенсации и наложения.

Пусть в электрической цепи выделен активный двухполюсник и ветвь с сопротивлением r (рис. 5 .14, а), которое может быть и изменяющи мся. Применив принцип компенсации, получим эквивалентную схему (рис. 5.14,6), для которой

Теперь применим принцип наложения и составим две схемы с двумя частными режимами: в первой из н их (рис. 5.14, в) действуют только источники внутри активного двухполюсника, а ЭДС, полученная по принципу компенсации, по лагается равной нулю, а во второй (рис. 5.14, г) действует только ЭДС компенсации (5.19), а двухполюсник считается пассивным. Ег о входное сопротивление rВХ.

Ток в ветви с сопротивлением r по принципу наложения равен сумме частичных токов I=I'+I"=IК-U/rВХ, т. е. U=rВХ(IК-I), I=IK-rI/rВХ, I(rВХ+r)/rВХ=IK.

В частности, в режиме холостого хода I=0 и U=UХ=rВХIК. Следовательно,

Последнее уравне ние соответствует эквивалентной схеме, показанной на рис. 5.14,

д с ЭДС ЕЭК=UХ, выражающей сформулированный выше принцип. Согласно (5.20) ток

Если источник ЭДС преобразовать в источник тока, то схема эквивалентного генератора получится такой, как на рис. 5.14, е. Вольт-амперная или внешняя характеристика эквивалентного генератора по рис. 5.14, д или е показана на рис. 5.14, ж.

Следует заметить, что обе схемы эквивалентного генератора применимы только для расчета токов и напряжений в участке цепи, подключенном к рассматриваемому активному двухполюснику. Для мощностей, развиваемых источниками, и мощностей потерь внутри активного двухполюсника схемы замещения, полученные на основании принципа эквивалентного генератора, неадекватны.

Применение принципа эквивалентного генератора позволяет упростить решение многих задач, и поэтому его применение иногда относят к методам расчета, хотя он и носит более общий характер.

Применение принципа эквивалентного генератора весьма удобно при рассмотрении пассивного четырехполюсника, к одной паре выводов которого подключен источник ЭДС Е1, а к другой паре выводов — приемник с сопротивлением r (рис. 5.15, а). Такую схему со стороны выводов 1-1′ можно рассматривать как пассивный двухполюсник с сопротивлением r1ВХ (рис. 5.15,6), а со стороны выводов 2-2' - как активный двухполюсник с входным сопротивлением r2ВХ и э.д.с. ЕЭК (рис. 5.15, в).

Если, например, пассивный четырехполюсник имеет схему, показанную на рис. 5.15, г, то параметры эквивалентной схемы

Представление четырехполюсника в виде эквивалентной схемы, изображенной на рис. 5.15, в, применяется при рассмотрении электронных схем. Для приемника с сопротивлениями r схемы рис. 5.15, а и в полностью эквивалентны. Однако если рассчитать мощность пассивного четырехполюсника (в сопротивлениях r1 r2 и r3) и мощность потерь в эквивалентной схеме (сопротивление r2ВХ), то эти мощности могут оказаться равными только в редких частных случаях.

Интересно сопост авить принцип эквивалентного генератора с принципом компенсации. И тот и дру гой дают возможность представить двухполюсник в виде эквивалентного источника, однако принцип компенсации приводит к идеальному источнику ЭДС (без внутреннего сопротивления), а принцип эквивалентного генератора

— к реальному источнику (с внутренним сопротивлением rВХ). ЭДС источника, полученного на основании принципа компенсации, зависит от тока, а параметры источника, полученного на основании принципа эквивалентного генератора, не зависят от режима работы подключе нного к активному двухполюснику участка цепи. Принцип компенсации применим как к линейным, так и к нелинейным цепя м. Принцип эквивалентного генерато ра применим только к линейным цепям.

Пример. По прин ципу эквивалентного генератора найти выражение для тока I0 в ветви с измерительным прибором (рис. 5.16, д), если ток источника тока J=10 мА, сопротивление r=100 Ом, сопротивление измерительного прибора. r0=50 Ом, а сопротивления r1 двух противоположных плеч моста изменяются одновременно от нуля до 2r; построить график и зменения тока I0 в зависимости от сопротивления r1.

Решение. Разомкнем ветвь с измерительным прибором (рис. 5.16,б), отключив прибор, и найдем токи I1Х =I2Х=J/2.

Напряжение UХ (рис. 5.16,6) определим из уравнения r1J/2+ UХ-rJ/2=0, откуда

UХ=(r-r1)J/2.

Входное сопротивление двухполюсника относительно выводов ветви с измерительным приборо м (рис. 5.16, в) rВХ=(r-r1)/2.

По принципу эквивалентного генератора (5.21)

I0=UХ/(rВХ+r0)=J(r- r1)/(2r0+r+r1)

Подставляя числен ные значения, получим:

I0=10(100-r1)/(100+ 100+r1)

На рис. 5.16, г показан график изменения тока I0 в зависимо сти от сопротивления r1. Из рисунка видно, что зависимость тока от сопротивления нели нейная (в отличие от линейных соотношений м ежду ЭДС, напряжениями и токами при и зменении сопротивления) и что при изменении сопротивления r1 изменяется не только значение тока I0, но и его направление.

ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ ОТ АКТИВНОГО ДВУХПОЛЮСНИК А К ПАССИВНОМУ Для исследования передачи энергии от активного двухполюсника к пассивному вернемся к эквивалентной схеме, показанной на рис. 5.14, д, и будем считать, что rВХ —

входное сопротивление активного двухполюсника (источника энергии) и ЕЭК=UХ — эквивалентная ЭДС оста ются постоянными, а r — входное сопротивление пассивного двухполюсника может принимать любое значение.

Прежде всего установим соотношение между сопротивлениями rВХ и r, при выполнении которого мощность пассивного двухполюсника максимальна.

Мощность пассив ного двухполюсника определяется выражениями

где ЕЭКI=UХI — мощность, развиваемая эквивалентным активным двухполюсником; rВХI2

—мощность потерь в этом двухполюснике (в сопротивлении rВХ).

Для определения тока I, при котором мощность Р максимал ьна, найдем производную от Р по I из уравнения (5.22) и приравняем ее нулю:

dР/dI=UХ-2rВХI=0,

откуда искомый ток I=UХ/(2rВХ) [уравнением (5.23) пользоваться нельзя, так как его правая часть содержит две переменные: r и I].

В общем случае (рис. 5.14, д) ток I=UХ/(rВХ+r). Значит, мощность максимальна при

т. е. при равенстве входных сопротивлений пассивного и активного двухполюсников. По (5.23) при r=rВХ мощность

PМАКС=UХ2/(4rВХ).

Отношение мощности Р пассивного двухполюсника к мощности РА=UХI, развиваемой эквивалентным активным двухполюсником, называется КПД

эквивалентного активного двухполюсника:

Из (5.25) следует, что при максимальной мощности пассивного двухполюсника КПД равен 0,5. Более высокие значения КПД будут при r>rВХ.

КПД реального активного двухполюсника равен КПД эквивалентного только при выполнении определенного условия. Если при отключении пассивного двухполюсника от реального активного в ветвях последнего не будет токов и потерь, так же как и в эквивалентной схеме на рис. 5.14, д, то КПД реального и эквивалентного активных двухполюсников равны. При невыполнении этого условия КПД реального активного двухполюсника меньше КПД эквивалентного двухполюсника.

Полученные результаты применим, например, для характеристики режима линии передачи электрической энергии небольшой длины, у которой утечкой тока (между проводами) можно пренебречь.

Если в начале линии передачи напряжение U1 поддерживается неизменным (рис. 5.17, а), то линию можно представить в виде последовательного соединения активного двухполюсника с источником ЭДС ЕЭК=UХ=U1 (без внутреннего сопротивления), резистивного элемента, учитывающего сопротивление проводов rЛ, и пассивного двухполюсника — приемника с сопротивлением r (рис. 5.17, а). По (5.22) и (5.25) найдем мощность Р2 приемника и КПД линии передачи:

Мощность, развиваемая источником,

P1=U1I;

напряжение на выводах приемника

U2=U1-rЛI.

По полученным уравнениям на рис. 5.17,6 построены зависимости U2, P1 Р2 и η от тока I, полностью характеризующие режим линии.

При r=∞ (холостой ход линии) ток I=0 (на рис. 5.17, б — точка в начале координат),

при r=rЛ ток определяется отрезком 0а и при r=0 (короткое замыкание линии) значение тока максимально и равно IК. Кроме того, при r=rЛ мощность Р1 определяемая отрезком ас, равна удвоенной мощности приемника (ас=2аb=2bc), и КПД η=0,5.

Рис. 5.17

По эквивалентной схеме (рис. 5.17, а) установим еще связь между потерями в проводах линии (в сопро тивлении rЛ) и мощностью приемника Р2:

Из (2.27), в частности, следует, что при Р2 =const с повышением напряжения U2 требуется меньшее значение тока I и, следовательно, уменьшаются потери в проводах, что в свою очередь позволяет уменьшить сечение проводов. Конечно, при этом надо усилить изоляцию проводов линии.

В случае передачи по линии электрической энергии при большой мощности стремятся получить возможно больший КПД, для чего необходимо, как непосредственно следует из (5.26), иметь rЛ<<r. При передаче сигналов по линии свяязи стремятся получить максимальную мощность в приемнике, что приводит к низкому значению КПД.