6. Расчёт электрических цепей методом контурных токов.

М ЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ Для расчета режи ма сложной электрической цепи мож но ограничиться

совместным решением л ишь к=(ву+1) независимых уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа методом контурных токов; здесь в, как и ранее, — число ветвей и у — число узлов, при этом первый закон Кирхгофа, конечно, всегда удовлетворяется.

Для иллюстрации применения метода контурных токо в рассмотрим схему на рис. 4.21,а с шестью ветвями и четырьмя узлами. П режде чем составлять уравнения п о второму закону Кирхгофа, надо выбрать взаимно независимые контуры.

При выборе независимых контуров можно применять то же правило, что и при записи уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для схемы рис. 4.21, а ветви с токами I4, I5 и I6, соединяющие узлы 1, 2, 3, 4, можно выбрать в качестве ветвей дерева (рис. 4.21,6); поэтому ветви с токами I1, I2 и I3 будут ветвями связи. На рис. 4.21,6 элементы ветвей дерева изображены сплошным и линиями, а элементы ветвей связи — штриховыми.

Для схем на рис. 4 .21, а и б по первому закону Кирхгофа

I1-I4-I3=0, I5+I2-I1 =0, I6+I3-I2 =0.

(4.41)

На основании вто рого закона Кирхгофа для трех контуров, каждый из

которых включает только одну ветвь связи,

r I

1

+ r I

5

+ r I

4

= E

1

E

4

 

 

1

 

5

4

 

 

 

 

 

r2 I 2 r5 I5 + r6 I 6 = −E2 .

(4.42)

r I

3

r I

4

r I

6

= E

3

+ E

4

 

 

3

 

4

6

 

 

 

 

Пользуясь уравнениями (4.41), исключим из уравнений (4.42) токи I4, I5 и I6 всех ветвей дерева, общих для нескольких контуров; в результате получим

 

(r + r + r ) I

1

r I

2

r I

3

= E

1

E

4

 

 

1

 

4

5

 

5

4

 

 

 

 

(4.43)

 

r5 I1 + (r2

+ r5 + r6 ) I 2 r6 I 6 = −E2

r I

1

r I

2

+ (r + r + r ) I

3

= E

3

+ E

4

 

4

6

 

 

3

4

6

 

 

 

 

 

В соответствии с уравнениями (4.43) можно принять, что каждый из токов I1, I2 и I3 замыкается через соответствующую ветвь связи в одном из контуров (рис. 4.21, а и б), и назвать такие токи контурными: I=I1; I=I2; I=I3. Напряжения на резистивных элементах любого контура равны алгебраической сумме напряжений, обусловленных токами своего и смежных контуров. Например, в контуре из элементов r1 r5 и r4 разность ЭДС Е1Е4 равняется сумме трех напряжений: от собственного контурного тока Iна всех сопротивлениях этого контура и от токов Iи Iсоответственно на сопротивлениях r5 и r4. Токи в ветвях дерева, общих для нескольких контуров, равны алгебраическим суммам контурных токов:

I4=I-I, I5=I-I, I6=I-I.

(4.44)

Для этой же схемы можно получить и другие взаимно независимые уравнения. Например, выберем другое дерево из первой, пятой и шестой ветвей (рис. 4.21, в), так что вторая, третья и четвертая ветви будут ветвями связи, токи в которых совпадают с контурными. Применив в этом случае второй закон Кирхгофа для контуров 2-3-4-2, 3-1-2-4-3 и 2-4-1-2, получим уравнения с контурными токами I, Iи Iзамыкающимися через ветви деревьев по ветвям связи. Токи в ветвях дерева однозначно определяются через токи ветвей связи (совпадающие с контурными) по формулам

I1=I+I,

I5=I+I-I, I6=I-I.

Выражение для тока I5 получено по первому закону Кирхгофа для токов в ветвях, примененному к главному сечению S5, след которого показан на рис. 4.21, в штриховой линией.

Таким образом, система взаимно независимых уравнений определяется структурой выбранного дерева и соответствующими ветвями связи.

Схема рис. 4.21, а имеет 16 деревьев, поэтому для такой схемы можно написать 16 систем независимых уравнений, каждая из которых содержит в качестве неизвестных три тока, замыкающихся по ветвям связи через ветви выбранного дерева.

Из приведенных примеров следует, что для определения токов в ветвях этим методом нужно ввести в расчет контурные токи и решить совместно систему уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа; число этих уравнений меньше числа неизвестных токов ветвей в на число узлов схемы

без одного (у— 1). При замене токов в ветвях контурными т оками первый закон Кирхгофа удовлетворяется для каждого узла, так как каждый контурный ток в одной из ветвей контура направлен к узлу, а в другой — от того же узла. Например, для узла 4 (рис. 4.21, а) по первому закону Кирхгофа для токов ветвей получи м: I4I5I6=0, или для контурных токов (I-I)-

(I-I)-(I-I)=0.

Если схема содер жит не только источники ЭДС, но и источники тока, то можно принять ток каждого из источников тока замыкающимся по любым ветвям дерева, составляющим с ветвью источника тока — ветвью связи — замкнутый контур. Паде ние напряжения, вызванное током такого источника на каждом из сопротивлений контура, учитывается при запи си левой части уравнений по второму закону Кирхгофа. Эти напряжения можно также учесть с обратным знак ом в правой части уравнений.

В качестве пример а рассмотрим схему на рис. 4.17. Н а основании второго закона Кирхгофа

r I

1

+ r I

5

r I

4

= E

1

E

4

 

 

1

5

4

 

 

 

r2 I

2

r4 I 4

r6 I 6 = E

2

E4 .

(4.45)

 

 

r3 I 3 r5 I5 r6 I 6

= 0

 

 

 

 

 

 

Пользуясь первым законом Кирхгофа, исключим из этих уравнений токи I4, I5 и I6; в результате после группировки слагаемых получим

(r + r + r ) I

1

r I

3

+ r I

2

+ r J + r J = E

1

E

4

 

 

1

5

4

5

4

5

4

 

 

 

(r2

+ r4

+ r6 ) I 2 + r4 I1 + r6 I 3 + r4 J = E2 E4

.

(4.46)

 

 

(r3 + r5 + r6 ) I 3 r5 I1 + r6 I 2 r5 J = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этих уравнений следует, что в рассматриваемом случае ток J как бы замыкается по ветвям с сопротивлениями r5 и r4, дополняющими ветвь с источником тока J до замкнутого контура.

При расчете электрических цепей изложенным методом всегда стремятся к тому, чтобы число контурных токов, замыкающихся через каждую из ветвей, было по возможности минимальным. С этой целью обычно выбирают каждый контур в виде ячейки (на рис. 4.21, а три ячейки с контурными токами I, Iи I), руководствуясь указанным выше правилом выбора независимых контуров (дерева и ветвей связи) при составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа, что возможно для любой планарной схемы.

Положительные направления контурных токов можно выбирать и произвольно, т. е. независимо от положительных направлений токов в ветвях.

Установим теперь более общие, необходимые для дальнейших выводов соотношения между контурными токами, сопротивлениями и ЭДС цепи произвольной конфигурации.

Для схемы, имеющей к независимых контуров, уравнения, аналогичные (4.43), запишутся в виде

r11 I1K

+ r12 I

2 K +...+r1l I lK +...+r1k I kK

= E1

 

r

I

 

 

+ r

I

 

 

+...+r

I

 

+...+r

I

 

= E

 

 

21

 

1K

22

 

2 K

2l

 

lK

2 k

 

 

kK

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

I

1K

+ r

 

I

2 K

+...+r I

lK

+...+r I

kK

= E

l

 

(4.48)

l1

 

 

l 2

 

 

ll

 

lk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

I

1K

+ r

 

I

2 K

+...+r I

lK

+...+r I

kK

= E

k

 

k 1

 

 

k 2

 

 

 

kl

 

kk

 

 

 

 

 

В этих уравнениях сопротивление вида rll (с двумя одинаковыми индексами) называется собственным сопротивлением контура l, а сопротивление вида rlk=rkl (с двумя различными индексами) — общим сопротивлением контуров l и k. Правые части уравнений (4.48) называются контурными ЭДС. Каждая из контурных ЭДС вида Е, равна алгебраической сумме ЭДС всех источников в ветвях контура l. Положительные знаки в каждом уравнении (4.48) должны быть взяты для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода соответствующего контура.

В более общем случае для электрической цепи, которая содержит как источники ЭДС, так и источники тока, контурное уравнение для l-го контура записывается в виде

(rlj ) I lK

+ rlj I jK

= El + rlj Jlj = El( K )

(4.48а)

j

j

j

 

 

j ¹l

 

 

где (rlj ) = rll обозначает собственное сопротивление контура l; rlj — общее

j

сопротивление двух контуров: l и j; Jlj — ток источника тока, замыкающийся по ветви с сопротивлением rlj; El( K ) — контурная ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС в контуре).

Методом узловых потенциалов целесообразно пользоваться, если число узлов схемы, уменьшенное на единицу, меньше числа независимых контуров у—1< к, а методом контурных токов — при у-1>к.

Соседние файлы в папке Новая папка