

6. Расчёт электрических цепей методом контурных токов.
М ЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ Для расчета режи ма сложной электрической цепи мож но ограничиться
совместным решением л ишь к=(в— у+1) независимых уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа методом контурных токов; здесь в, как и ранее, — число ветвей и у — число узлов, при этом первый закон Кирхгофа, конечно, всегда удовлетворяется.
Для иллюстрации применения метода контурных токо в рассмотрим схему на рис. 4.21,а с шестью ветвями и четырьмя узлами. П режде чем составлять уравнения п о второму закону Кирхгофа, надо выбрать взаимно независимые контуры.
При выборе независимых контуров можно применять то же правило, что и при записи уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для схемы рис. 4.21, а ветви с токами I4, I5 и I6, соединяющие узлы 1, 2, 3, 4, можно выбрать в качестве ветвей дерева (рис. 4.21,6); поэтому ветви с токами I1, I2 и I3 будут ветвями связи. На рис. 4.21,6 элементы ветвей дерева изображены сплошным и линиями, а элементы ветвей связи — штриховыми.
Для схем на рис. 4 .21, а и б по первому закону Кирхгофа
I1-I4-I3=0, I5+I2-I1 =0, I6+I3-I2 =0. |
(4.41) |
На основании вто рого закона Кирхгофа для трех контуров, каждый из
которых включает только одну ветвь связи,
r I |
1 |
+ r I |
5 |
+ r I |
4 |
= E |
1 |
− E |
4 |
|
|||
|
1 |
|
5 |
4 |
|
|
|
||||||
|
|
r2 I 2 − r5 I5 + r6 I 6 = −E2 . |
(4.42) |
||||||||||
r I |
3 |
− r I |
4 |
− r I |
6 |
= E |
3 |
+ E |
4 |
|
|||
|
3 |
|
4 |
6 |
|
|
|
|
Пользуясь уравнениями (4.41), исключим из уравнений (4.42) токи I4, I5 и I6 всех ветвей дерева, общих для нескольких контуров; в результате получим
|
(r + r + r ) I |
1 |
− r I |
2 |
− r I |
3 |
= E |
1 |
− E |
4 |
|
||||||
|
1 |
|
4 |
5 |
|
5 |
4 |
|
|
|
|
(4.43) |
|||||
|
− r5 I1 + (r2 |
+ r5 + r6 ) I 2 − r6 I 6 = −E2 |
|||||||||||||||
− r I |
1 |
− r I |
2 |
+ (r + r + r ) I |
3 |
= E |
3 |
+ E |
4 |
||||||||
|
4 |
6 |
|
|
3 |
4 |
6 |
|
|
|
|
|
В соответствии с уравнениями (4.43) можно принять, что каждый из токов I1, I2 и I3 замыкается через соответствующую ветвь связи в одном из контуров (рис. 4.21, а и б), и назвать такие токи контурными: I1К=I1; I2К=I2; I3К=I3. Напряжения на резистивных элементах любого контура равны алгебраической сумме напряжений, обусловленных токами своего и смежных контуров. Например, в контуре из элементов r1 r5 и r4 разность ЭДС Е1— Е4 равняется сумме трех напряжений: от собственного контурного тока I1К на всех сопротивлениях этого контура и от токов I2К и I3К соответственно на сопротивлениях r5 и r4. Токи в ветвях дерева, общих для нескольких контуров, равны алгебраическим суммам контурных токов:
I4=I1К-I3К, I5=I1К-I2К, I6=I2К-I3К. |
(4.44) |
Для этой же схемы можно получить и другие взаимно независимые уравнения. Например, выберем другое дерево из первой, пятой и шестой ветвей (рис. 4.21, в), так что вторая, третья и четвертая ветви будут ветвями связи, токи в которых совпадают с контурными. Применив в этом случае второй закон Кирхгофа для контуров 2-3-4-2, 3-1-2-4-3 и 2-4-1-2, получим уравнения с контурными токами I2К, I3К и I4К замыкающимися через ветви деревьев по ветвям связи. Токи в ветвях дерева однозначно определяются через токи ветвей связи (совпадающие с контурными) по формулам
I1=I3К+I4К, |
I5=I3К+I4К-I2К, I6=I2К-I3К. |
Выражение для тока I5 получено по первому закону Кирхгофа для токов в ветвях, примененному к главному сечению S5, след которого показан на рис. 4.21, в штриховой линией.
Таким образом, система взаимно независимых уравнений определяется структурой выбранного дерева и соответствующими ветвями связи.
Схема рис. 4.21, а имеет 16 деревьев, поэтому для такой схемы можно написать 16 систем независимых уравнений, каждая из которых содержит в качестве неизвестных три тока, замыкающихся по ветвям связи через ветви выбранного дерева.
Из приведенных примеров следует, что для определения токов в ветвях этим методом нужно ввести в расчет контурные токи и решить совместно систему уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа; число этих уравнений меньше числа неизвестных токов ветвей в на число узлов схемы

без одного (у— 1). При замене токов в ветвях контурными т оками первый закон Кирхгофа удовлетворяется для каждого узла, так как каждый контурный ток в одной из ветвей контура направлен к узлу, а в другой — от того же узла. Например, для узла 4 (рис. 4.21, а) по первому закону Кирхгофа для токов ветвей получи м: I4— I5— I6=0, или для контурных токов (I1К-I3К)-
(I1К-I2К)-(I2К-I3К)=0.
Если схема содер жит не только источники ЭДС, но и источники тока, то можно принять ток каждого из источников тока замыкающимся по любым ветвям дерева, составляющим с ветвью источника тока — ветвью связи — замкнутый контур. Паде ние напряжения, вызванное током такого источника на каждом из сопротивлений контура, учитывается при запи си левой части уравнений по второму закону Кирхгофа. Эти напряжения можно также учесть с обратным знак ом в правой части уравнений.
В качестве пример а рассмотрим схему на рис. 4.17. Н а основании второго закона Кирхгофа
r I |
1 |
+ r I |
5 |
− r I |
4 |
= E |
1 |
− E |
4 |
|
|
|
1 |
5 |
4 |
|
|
|
|||||
r2 I |
2 |
− r4 I 4 |
− r6 I 6 = E |
2 |
− E4 . |
(4.45) |
|||||
|
|
r3 I 3 − r5 I5 − r6 I 6 |
= 0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
Пользуясь первым законом Кирхгофа, исключим из этих уравнений токи I4, I5 и I6; в результате после группировки слагаемых получим
(r + r + r ) I |
1 |
− r I |
3 |
+ r I |
2 |
+ r J + r J = E |
1 |
− E |
4 |
|
||||
|
1 |
5 |
4 |
5 |
4 |
5 |
4 |
|
|
|||||
|
(r2 |
+ r4 |
+ r6 ) I 2 + r4 I1 + r6 I 3 + r4 J = E2 − E4 |
. |
(4.46) |
|||||||||
|
|
(r3 + r5 + r6 ) I 3 − r5 I1 + r6 I 2 − r5 J = 0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Из этих уравнений следует, что в рассматриваемом случае ток J как бы замыкается по ветвям с сопротивлениями r5 и r4, дополняющими ветвь с источником тока J до замкнутого контура.
При расчете электрических цепей изложенным методом всегда стремятся к тому, чтобы число контурных токов, замыкающихся через каждую из ветвей, было по возможности минимальным. С этой целью обычно выбирают каждый контур в виде ячейки (на рис. 4.21, а три ячейки с контурными токами I1К, I2К и I3К), руководствуясь указанным выше правилом выбора независимых контуров (дерева и ветвей связи) при составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа, что возможно для любой планарной схемы.
Положительные направления контурных токов можно выбирать и произвольно, т. е. независимо от положительных направлений токов в ветвях.
Установим теперь более общие, необходимые для дальнейших выводов соотношения между контурными токами, сопротивлениями и ЭДС цепи произвольной конфигурации.
Для схемы, имеющей к независимых контуров, уравнения, аналогичные (4.43), запишутся в виде
r11 I1K |
+ r12 I |
2 K +...+r1l I lK +...+r1k I kK |
= E1 |
|
||||||||||||||||
r |
I |
|
|
+ r |
I |
|
|
+...+r |
I |
|
+...+r |
I |
|
= E |
|
|
||||
21 |
|
1K |
22 |
|
2 K |
2l |
|
lK |
2 k |
|
|
kK |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
I |
1K |
+ r |
|
I |
2 K |
+...+r I |
lK |
+...+r I |
kK |
= E |
l |
|
(4.48) |
|||||
l1 |
|
|
l 2 |
|
|
ll |
|
lk |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
I |
1K |
+ r |
|
I |
2 K |
+...+r I |
lK |
+...+r I |
kK |
= E |
k |
|
|||||||
k 1 |
|
|
k 2 |
|
|
|
kl |
|
kk |
|
|
|
|
|
В этих уравнениях сопротивление вида rll (с двумя одинаковыми индексами) называется собственным сопротивлением контура l, а сопротивление вида rlk=rkl (с двумя различными индексами) — общим сопротивлением контуров l и k. Правые части уравнений (4.48) называются контурными ЭДС. Каждая из контурных ЭДС вида Е, равна алгебраической сумме ЭДС всех источников в ветвях контура l. Положительные знаки в каждом уравнении (4.48) должны быть взяты для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода соответствующего контура.
В более общем случае для электрической цепи, которая содержит как источники ЭДС, так и источники тока, контурное уравнение для l-го контура записывается в виде
(∑rlj ) I lK |
+ ∑rlj I jK |
= El + ∑rlj Jlj = El( K ) |
(4.48а) |
j |
j |
j |
|
|
j ¹l |
|
|
где (∑rlj ) = rll обозначает собственное сопротивление контура l; rlj — общее
j
сопротивление двух контуров: l и j; Jlj — ток источника тока, замыкающийся по ветви с сопротивлением rlj; El( K ) — контурная ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС в контуре).
Методом узловых потенциалов целесообразно пользоваться, если число узлов схемы, уменьшенное на единицу, меньше числа независимых контуров у—1< к, а методом контурных токов — при у-1>к.