

42. Основы теории переменных электромагнитных полей.
Основ ы теории переменных электромагнитных полей.
Первое уравнение Максвелла:
|
|
|
|
∂ |
|
= |
|
+ ε |
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
E |
E |
(0.1) |
|||||||||
rotH |
= |
|
+ |
= gE |
+ ε |
||||||||||||
j |
j |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂t |
∂t |
∂t |
|
в декартовых координатах:
∂H |
z |
− |
∂H y |
= gE |
|
+ ε |
∂E |
x |
, |
∂H |
x |
− |
∂H |
z |
= gE |
|
+ ε |
∂Ey |
, |
∂H y |
− |
∂H |
x |
|
= gE + ε |
∂E |
z |
. (0.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∂y |
|
∂z |
|
∂t |
|
∂z |
|
∂x |
|
|
∂t |
∂x |
∂y |
|
∂t |
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 21. К определению вихрей переменного магнитного поля: а) контур l охватывает проводники с током,
б) контур l охватывает переменное электрическое поле.
Физический смысл первого уравнения Максвелла: магнитное поле порождается не только током проводимоссти, но и изменением во времени связанных зарядов – током смещения.
Интегрируя первое уравнение Максвелла (1.68) по произвольной поверхности S, получим:

∫ rot |
|
|
|
= ∫ |
|
|
+ ∫ε |
∂ |
E |
|
|
, |
(0.3) |
H |
dS |
|
jdS |
dS |
|||||||||
S |
|
|
|
S |
|
|
S |
∂t |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграл в левой части прреобразуем по теореме Стокса в циркуляцию вектора H по контуру l поверхности S, а интегралы в правой части есть полный ток проводимости и полный ток смещения, соответственно. Исходя из этого, получаем закон полного тока:
∫ |
|
|
|
= I + ICM |
= I + |
dN |
= I |
ПОЛН , |
(0.4) |
|
H |
dl |
|||||||||
|
|
|||||||||
l |
|
dt |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
являющийся обобщением равенства (1.47), где:
N = ∫ε EdS -
S
- поток вектора электричееской индукции.
Второе уравнение Максвелла:
Рис. 22. К определению вихрей переменного электрического поля.

|
|
|
|
|
∂ |
|
|
= −μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot |
|
= − |
B |
∂H |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0.5) |
||||||||
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂t |
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в декартовых координатах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∂Ez |
|
∂Ey |
∂H x |
|
∂Ex |
|
∂Ez |
|
∂H y |
|
∂Ey |
|
∂Ex |
|
∂H z |
|
|||||||||
|
|
− |
|
|
= −μ |
|
|
, |
|
− |
|
= −μ |
|
, |
|
− |
|
= −μ |
|
. (0.6) |
||||||
|
∂y |
|
∂z |
∂t |
∂z |
∂x |
∂t |
∂x |
∂y |
∂t |
Меняющееся во времени магнитное поле вызывает (независимо от параметров среды) электрическое поле и при том такое, что для всякого произвольно выбранного контура циркуляция вектора напряжённости этого поля равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром.
Уравнение источников электрического поля:
divε E = ρ ,
в декартовых координатах:
∂Ex |
+ |
∂Ey |
+ |
∂Ez |
= |
ρ |
|
∂x |
|
∂z |
|
. |
|||
∂y |
ε |
Уравнение источников магнитного поля:
divμ H = 0 ,
в декартовых координатах:
∂H x + ∂H y + ∂H z = 0 . ∂x ∂y ∂z
Теорема Умова – Пойнтинга о сохранении энергии в электромагнитном поле. В произвольном объёме V сосредоточена энергия, равная:
W = ∫ |
(ε E 2 |
+ |
μ H 2 |
)dV . |
(0.7) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
V |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из первого и второго уравнений Максвелла имеем: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
ε ∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E |
μ ∂H |
= −rot |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= rotH |
|
− |
|
j |
, |
E |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Умножая скалярно первое равенство на |
E |
, а второе на H |
и складывая, получим: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ε |
|
E |
∂H |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
E |
+ μ H |
E |
rotH |
− HrotE − Ej |
. |
(0.8) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определения векторного произведения следует:

ErotH − HrotE = −div(E × H ) ,
учитывая, что:
|
|
∂ |
|
|
1 ∂ |
|
|
|
1 ∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
∂H |
|
1 ∂ |
|
|
|
1 ∂ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
E |
∂t = |
|
|
|
(E 2 ) = |
|
|
|
(E 2 ), |
H |
∂t = |
|
|
|
(H 2 ) = |
|
|
|
(H 2 ) , |
||||||||||
2 |
∂t |
2 |
∂t |
2 |
∂t |
2 |
∂t |
перепишем (1.75) в виде:
∂ |
(ε E2 |
+ |
μ H 2 |
) = −div( |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
× H |
) − |
jE , |
|||||||||
|
|
|||||||||||
∂t 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
интегрируя по объёму и меняя знак, получим:
|
d |
|
ε E2 |
μ H 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
− |
|
∫ |
+ |
|
dV = ∫ jEdV + ∫ div(Π)dV = ∫ jEdV + ∫ Π dS |
(0.9) |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
dt |
V |
2 |
2 |
|
V |
|
V |
|
V |
|
S |
|
где вектор Пойнтинга:
Π = E × H .
Рис. 23. Взаимная ориентация векторов напряжённости электрического поля, напряжённости магнитного поля и вектора Пойнтинга.
Энергия электромагнитного поля в каждой точке движется по нормали к плоскости
векторов E и H в сторонну поступательного перемещения правого винта, вращаемого от
вектора E к вектору H на наименьший угол. Количество энергии, протекающей через единичный участок этой плоскости в единицу времени:
Π = EH sin(E, H ) .

Рис. 24. Возможные направления вектора Пойнтинга при убывани и энергии в объёме V.

Рис. 25. Возможные напрравления вектора Пойнтинга при увеличении энергии в объёме V.
В проводнике с током (рис. 25) вектор напряжённости магниитного поля к его поверхности, вектор напр яжённости электрического поля E имеет нормальную En и
тангенциальную Etg составляющие, причём последняя направлена так же, как ток.
Поэтому вектор Пойнтинга у поверхности имеет вид:
Π = E × H = Π1 + Π2 = (En × H ) + (Etg × H ) .
Первое слагаемое вектора Пойнтинга Π1 = (En × H ) направлено вдоль проводника и определяет энергию перреносимую вдоль проводника. Второе слаггаемое Π2 = (Etg × H )
направлено вглубь проводника, на постоянном токе это энергия, переходящая в тепло. Т.о. энергия, переносимая вдоль проводника определяется нормальной составляющей вектора напряжённости электрического поля E , а энергия, входящая в проводник (потери)
определяется тангенциальной составляющей.

Рис. 26. Поле на поверхности проводника с током.
Рис. 27. Движение энергии внутри проводника с током.
Рассчитаем поток энергии, входящей в проводник на участке длиной l. Проводник имеет форму цилиндра с радиусом a и по нему течёт ток I. На рис. 27. показано направление векторов Etg , H , Π2 у поверхности проводника. Т.к. Etg и H

перпендикулярны друг к другу, касательны к поверхности проводника и одинаковы во всех точках проводящей поверхности, то поток мощности внутрь проводника равен:
P = |
∫ |
( |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
= E H 2πal, E = |
j |
= |
I |
, H = |
I |
, |
||
E |
× H |
)dS = E H |
dS |
||||||||||||||||
|
πa2 g |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
tg |
tg |
g |
2πa |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где: S - поверхность проводника, j - плотность тока в проводнике. Т огда:
P = |
j |
|
I |
2π al = j |
I × l |
= |
I |
|
I × l |
= I 2 |
l |
= I 2 R . |
g 2π a |
|
|
|
gπ a2 |
||||||||
|
|
g |
π a2 g |
|
Поток электромагнитной энергии равен количеству тепла, выделенному по закону Джоуля – Ленца.
Передача энергии вдоль линии постоянного тока. На рис. 28 а) схема линии, на рис. 28 б) силовые линии поля в поперечном сечении. Если сопротивленние линии равно нулю, у поверхности проводов вектор напряжённости электрического полля имеет только нормальную составляющую. У потребителя R основной составляющей напряжённости
электрического поля является тангенциальная. Направление векторов E и H вблизи верхнего и нижнего проводов таково, что в обоих случаях вектор Пойнтинга направлен от источника к потребителю.
Рис. 28. Движение энергии вдоль линии постоянного тока. а) схема линии, б) силовые линии поля в поперечном сечении.
Энергия течёт к наагрузке в диэлектрике, окружающей провода, энергия вошедшая в провод (если его сопроттивление ненулевое), целиком превращается в тепло. Т.о. провода являются направляющими для передачи энергии в диэлектрике.
Уравнения Максвелла и теорема Умова – Пойнтинга в компплексной форме.

|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(x, y, z)e jωt , H |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, y, z)e jωt , |
|||||||||||||
E |
|
|
|
E |
|
= H |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
K |
|
m |
|
|
K |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(x, y, z, t) = Im( |
|
|
K ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
E |
E |
H |
(x, y, z, t) = Im(H |
K ), |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
rot |
H |
|
m = |
jm + jωε Em , |
rotEm = − jωμ |
H |
m , |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
div(ε |
|
m ) = ρm , |
|
|
div(μ |
|
|
m ) = 0. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
E |
|
|
H |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Πm = 1 (Em × Hm* ) 2
Черта над буквой означает вектор, подчёркивание буквы – комплексное изображение синусоидальной величины, нижний индекс m – амплитудное значение.