19. Понятие о резонансе в сложных цепях.
ПОНЯТИЕ О РЕЗОНАНСЕ В СЛОЖНЫХ ЦЕП ЯХ Условие резонансаа b=0 или x=0 в разветвленной цепи с несколькими
индуктивностями и емкостями дают для частоты ω уравнения, котоорые могут иметь несколько действительны х корней, т.е. у разветвленной цепи может быть несколько резонансных частот.
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем входное сопротивление цепи, изображенной на рис. 6. |
|
|
|
|||||||||||
|
jωL1 |
|
1 |
|
|
|
jωL |
|
jωL − jω 3 L L C |
|
+ jωL |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Z = jωL3 + |
jωC |
2 |
|
= jωL3 + |
= |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
|||||
jωL1 |
+ |
1 |
|
|
1 − ω 2 L1C2 |
|
1 − ω 2 L1C2 |
|
||||||
|
jωC2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 6.
Если Z=0, наступает резонанс напряжений:
− ω 3 L L C |
2 |
+ ω ( L + L ) = 0, |
|
|||||
1 |
3 |
|
1 |
3 |
|
|
||
|
L1 + L3 |
|
|
|
|
|
||
ω 2 = |
, |
ω1 = |
|
L1 + L3 |
|
|||
|
|
L1 L3C2 |
|
|||||
|
L1 L3C2 |
|
|
|
|
|||
Входная проводимость этой цепи равна:
1 |
|
|
1 − ω 2 L C |
2 |
|
|||
Y = |
|
= j |
|
|
1 |
|
|
|
Z |
ωL − jω 3 L L C |
2 |
+ jωL |
|||||
|
|
|
3 |
1 |
3 |
1 |
||
При Y=0 наступает резонанс токов:
1
ω 2 L1C2 − 1 = 0, ω2 = .
L1C2
Задача (4.88, Поливанов).
Для схемы рис. 7 даны L,C. При каком R входное сопротивление чисто активное на любой частоте?
Рис. 7.
Входное сопротивление равно:
|
|
|
|
R |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jωC |
|
|
|
|
R jωL |
|
|
|
|
R |
|
|
|
RjωL |
|
R - jωCR2 |
R(ωL)2 + jωLR2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
Z = |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||
|
R + |
|
1 |
|
|
|
R + jωL |
1 + jωCR |
R + jωL |
1 + (ωCR)2 |
R 2 + (ωL)2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
jωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
R (ωL)2 |
|
|
|
|
|
|
ωLR2 |
|
|
|
|
ωCR2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ j |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
+ (ωCR) |
2 |
|
|
R |
2 |
+ (ωL) |
2 |
|
2 |
+ (ωL) |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
1 + (ωCR) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Найдем величину R из условия равенства нулю мнимой части: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ωLR2 |
|
|
|
|
|
|
ωCR2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
- |
|
|
= 0 ωL + ω3 LC 2 R2 - ωCR2 - ω3 L2 C = 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R2 + (ωL)2 |
1 + ( ωCR)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2 L2 C - L |
|
|
|
|
|
ω2 LC - 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
L |
|||||||||||||
R2 (ω2 LC 2 - C) = ω2 L2 C - L |
|
R = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
R = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ω2 LC 2 - C |
|
C ω2 LC - 1 |
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т.о. получаем, что если активное сопротивление равно харакктеристическому, резонанс наступает на любой частоте.
Задача.
Найти L0, при котором фазы u и i совпадают. R=2 Ом, L=2 мГн, C=250 мкФ, w=2×103 с-1.
Рис. 8.
Входное сопротивление равно:
|
jωL |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z = jωL + R + |
|
jωC |
= jωL |
|
+ R + |
jωL |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
1 |
|
|
1 - ω2 |
|
||||||
0 |
jωL + |
|
|
0 |
|
LC |
|||||
|
|
jωC |
|
|
|
|
|
|
|||
Чтобы фазы входного напряжения u и входного тока i совпадали, необходимо, чтобы реактивная составляющая входного сопротивления была равна нулю:
|
|
ωL0 = |
|
ωL |
, |
|
L0 = |
|
|
L |
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ω 2 LC -1 |
ω 2 LC -1 |
|
. |
||||||||||
|
|
2 ×10−3 |
Гн |
|
|
|
|
|
|
2 ×10−3 |
Гн |
|||||
L = |
|
|
|
|
|
|
= |
= 2 мГн |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
(2 |
×106 c −2 )(2 ×10 |
−3 |
Гн)(250 |
×10−6 |
Ф) -1 |
|
2 -1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
Резонанс токов наступает, если реактивная составляющая входной проводимости равна нулю:
Y = |
1 |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
1 - ω 2 LC |
|
= |
|||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 LC) + jω( L + L - ω2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L + L - ω2 L LC R(1 - ω |
L LC) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R + jω |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
1 - ω2 LC |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
(1 - ω 2 |
LC)[ R(1 - ω2 LC) - jω( L + L - ω 2 |
L LC)] |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
R 2 (1 - ω2 LC) 2 + ω |
2 ( L + L - ω 2 L LC)2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|||
отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
L + L - ω2 |
L LC = 0 ω |
|
= |
|
L0 + L |
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
L0 LC |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
1 - ω 2 LC = |
0 ω2 = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||