16. Пассивный двухполюсник на синусоидальном токе. Взаимосвязь комплексного, полного, активного и реактивного сопротивления и проводимости.
ПАССИВНЫЙ ДВУХПОЛЮСНИК Ток и напряжение на входе любого пассивного двухполюсника (рис. 6.15) связаны
законом Ома
U=ZI |
и |
I=YI, |
где Z и Y — входные комплексные сопротивление и проводимость двухполюсника. Входному комплексному сопротивлению Z=r+jx соответств ует эквивалентная
схема двухполюсника, состоящая из последовательного соединения активного сопротивления r и реактивного сопротивления x. Последнее в зависсимости от знака следует рассматривать ли бо как индуктивное, либо как емкостное сопротивление. Поэтому на эквивалентной схеме (рис. 6.16, а) сопротивление x показано условно прямоугольником.
Комплексная проводимость
1 |
|
1 |
|
|
r − jx |
|
r |
|
x |
|
|
|||
Y = |
|
|
= |
|
= |
|
|
= |
|
− j |
|
= g − jb , |
(6.34) |
|
Z |
r + jx |
r 2 + x 2 |
z 2 |
z 2 |
||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
g=r/z2; |
|
|
b=x/z2; |
|
|
|
|
|
(6.35) |
|||||
и, наоборот, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r=gz2=g/y2; |
x=bz2=b/y2. |
|
|
|
|
|
(6.36) |
|||||||
Из полученных соотношений видно, что b и x всегда имеют одинаковый знак.
Например, для схемы на рис. 6.8 (последовательный RLC контур) получаем для g и b довольно сложные выраажения, причем не только b, но и g зависятт от частоты:
|
r |
ωL − |
1 |
|
|
|
|
|||
|
ωC |
|||||||||
g = |
|
|
|
; b = |
|
|
|
. |
||
r 2 + (ωL − |
1 |
)2 |
r 2 + (ωL − |
1 |
)2 |
|||||
ωC |
ωC |
|||||||||
Наоборот, для схемы на рис. 6.12, состоящей из параллельноого соединения элементов, получаются простые выражения для проводимостей, но относительно сложные выражения для сопротивлений, причем и эквивалентное активное сопротивление зависит от частоты. По (6.36)
|
|
g |
|
1 |
|
− ωC |
||||
|
|
|
ωL |
|||||||
r = |
|
|
|
; x = |
|
|
|
. |
||
g 2 + ( |
1 |
− ωC)2 |
g 2 + ( |
1 |
− ωC)2 |
|||||
|
ωL |
ωL |
||||||||
Переход от сопротивления Z=r+jx к проводимости Y=g— jb и обратно соответствует замене схемы цепи с послледовательным соединением элементов r и jx эквивалентной схемой с параллельным соединением элементов g и — jb и обратно (рис. 6.16, а и б).
Напряжение U мо жно разложить на составляющие:
U=ZI=(r+jx)I=rI+jxI=Ua+Up
где Ua=rI — составляющаая, совпадающая по фазе с током, называется активной составляющей напряжения; Up=jxI — составляющая, сдвинутая по фазе относительно тока на угол π/2, называется реактивной составляющей напряжения.
Составляющие Ua и Up можно рассматривать как напряжения на элементах r и x эквивалентной схемы.
На рис. 6.16,в пред ставлена векторная диаграмма двухполюсника при ϕ>0, т. е. если x — индуктивное сопротивление. Треугольник, образованный векторами U, Ua и Up со сторонами, пропорциональными z, r и |x|, называется треугольником напряжений. Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны сопротивлениям z, r и |x|, называется треугольником сопротивлений. Из треугольника напряжений следует, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
a |
= U cosϕ; U |
p |
= U |
sinϕ |
; U = |
U 2 |
+ U 2 . |
|
|
|
|
|
|
a |
p |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Входной комплексной проводимости Y=g— jb соответствует эквивалентная схема двухполюсника, состоящая из параллельного соединения проводим остей g и — jb. Последняя в зависимости от знака либо индуктивная, либо емкостная. Поэтому на эквивалентной схеме (рис. 6.16,6) проводимость b, показана условно прямоугольником. Ток на входе двухполюсника можно разложить на составляющие :
I=YU=(g— jb)U=gU — jbU=Ia+Ip
составляющая, совпадающая по фазе с напряжением, называется активной составляющей тока Ip=— jbU, — составляющая, сдвинутая по фазе относительно напряжения на угол p/2, называется реактивной составляющей тока.
Составляющие Ia и Ip можно рассматривать как токи в элементах g и — jb эквивалентной схемы.
Треугольник, образованный векторами I, Ia и Ip, со сторонами, пропорциональными y, g, |b|, называется треугольником токов. Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны проводимостям y, g и |b |, называется треугольником проводимостей.
Из треугольника токов имеем
Ia = I cosϕ; I p = I sinϕ ; I = 
Ia2 + I p2
Пример. Цепь состоит из конденсатора емкостью С=10 мкФ и резистора с сопротивлением r=100 Ом, включенных параллельно. Определить, каковы должны быть емкость конденсатора и сопротивление резистора, чтобы при их последовательном соединении получилась цепь, эквивалентная данной при частоте w=103 рад/с.
Решение. Проводимости данной цепи g=1/r=10-2 См; b=-bC=-wС=-103×10×10-6=-10-2
См; y2=g2+b2=2×10-4 См2.
Сопротивления данной цепи r=g/y2=50 Ом; x=b/y2=-50 Ом.
Эквивалентная цепь должна иметь такие же сопротивления. Таким образом, искомое сопротивление резистора 50 Ом, а емкость конденсатора С=—1/ wx=20 мкФ.
Пример. Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника (см. рис. 6.15)
u=100sin(314t-15°) В, i=10sin(314t+45°) А.
Определить параметры двух эквивалентных схем двухполюсника, активные и реактивные составляющие напряжения и тока.
Решение.
Um=100Ð-15° В; Im=10Ð45° А; Z=Um/Im=100Ð-15°/10 Ð45°=10 Ð-60°=5- j5×31/2 Ом; Y=1/Z=1/(10Ð-60°)=0,1 Ð60°=0,05+ j0,05×31/2 См;
r=5 Ом; |
x=-5×31/2 Ом; |
g=0,05 См; |
b=0,05×31/2 См; |
j=argZ=yu-yi=-15°-45°=-60°; Uam=Umcosj=100соsÐ-60°=50 В; Upm=Um|sinj|=100|sinÐ-60°|=50 ×31/2 В;
Iam=Imcosj=10соsÐ60°=5 А; Upm=Um|sinj|=10|sinÐ-60°|=5 ×31/2 А;
ua=50sin(314t+45°) В; up=50×31/2sin(314t-45°) В; ia=5sin(314t-15°) А; ip=5×31/2sin(314t+75°) А.