5.2. Вариация альтернативного признака

В статистике помимо показателей вариации количественных признаков широко используются показатели вариации качественных признаков (в частности, при проектировании выборочного наблюдения). Вариация альтернативного признака количественно проявляется в значении 0 (нуля) у единиц, которые этим признаком не обладают, или 1 (единицы) у тех, которые данный признак имеют. Пусть р — до­ля единиц в совокупности, обладающих данным признаком, q — доля единиц, не обладающих данным признаком, причем p+q=1.

Среднее значение альтернативного признака определим по формуле средней арифметической (5.13):

Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле (5.14):

Таким образом, средняя величина альтернативного признака равна его доле в данной совокупности, а дисперсия — произведению доли его наличия и доли его отсутствия. Максимальное значение дис­персии альтернативного признака, означающее максимальную неод­нородность совокупности, равно 0,25 при p=q=0,5.

5.3. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом в ряде случаев бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокуп­ность, а также между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии. В статистике различают общую, межгрупповую и внутригрупповую дисперсии.

Общая дисперсия ( ) измеряет вариацию признака во всей сово­купности под влиянием факторов, обусловивших эту вариацию (5.15):

Межгрупповая дисперсия ( ) характеризует систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки (5.16):

Где – среднее значение признака в i – той группе;

– численность элементов совокупности в i-той группе .

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием случайных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки (5.17).

Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле (5.18):

Существует соотношение, связывающее три вида дисперсий и называемое правилом сложения дисперсий (5.19):

Правило сложения дисперсий широко применяется при исчис­лении показателей тесноты связи. В статистической практике широко используется показатель, называемый коэффициентом детермина­ции, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии (5.20):

Коэффициент детерминации показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака. Корень квадратный из коэффициента де­терминации носит название эмпирического корреляционного отношения(5.21) :

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариа­цию результативного признака. Оно изменяется в диапазоне от 0 до 1. Если = 0, то группировочный признак не оказывает влияния на ре­зультативный. Если , то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группи­ровки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю. Промежу­точные значения оцениваются в зависимости от их близости к пре­дельным значениям. Так, в статистической практике зависимость результативного признака от факторного считается слабой при , умеренной при , сильной при .

Пример. По данным о производительности труда рабочих цеха (деталей за смену) требуется определить различные виды дисперсий.

Рабочие, прошедшие техническое обучение					Рабочие, не прошедшие техническое обучение
84	93	95	101	102		62	68	82	88	105

Средняя производительность труда в каждой группе рабочих определяется по формуле средней арифметической простой:

Средняя производительность труда в целом по цеху определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

Общая дисперсия рассчитывается в целом по цеху:

Для каждой группы рабочих определяется внутригрупповая дисперсия:

По двум группам рабочих рассчитываются средняя из внутригрупповых дисперсий

межгрупповая дисперсия:

общая дисперсия по правилу сложения дисперсий

коэффициент детерминации

Таким образом, фактор технического обучения объясняет в данном примере 26,4% вариации производительности труда, а все прочие факторы — 73,6%.

Эмпирическое корреляционное отношение

Величина корреляционного отношения свидетельствует о нали­чии умеренной зависимости производительности труда от фактора технического обучения.