Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / 14.0

14. Последовательное соединение сопротивления, индуктивности и емкости. Комплексное, полное, активное и реактивное сопротивление.

Пусть в ветви (рис. 6.8), состоящей из последовательно соединенных элементов r, L и С, т. е. в последовательном контуре или rLC-цепи, известен ток

i=I_msin(t+_i).

Выясним, каковы напряжения на отдельных элементах и на входе.

На основании второго закона Кирхгофа

u_r+u_L+u_C=u, (6.13)

где

u_r=ri=rI_msin(t+_i); (6.14)

u_L=Ldi/dt=LI_mcos(t+_i)=LI_msin(t+_i+/2); (6.15)

. (6.16)

Постоянная интегрирования в выражении для u_C принята равной нулю, так как в установившемся режиме, как уже указывалось, напряжение на любом участке цепи синусоидальное.

Из полученных выражений для u_r, u_L, и u_C видно, что напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на угол /2, а напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол /2.

На рис. 6.9 показаны кривые мгновенных значений тока и напряжений в случае, если амплитуда напряжения на индуктивности LI_m больше амплитуды напряжения на емкости I_m/С и _i>0. Синусоида u_r совпадает по фазе с синусоидой тока, а синусоиды u_L, и u_C сдвинуты относительно синусоиды тока на угол /2 соответственно влево (опережение) и вправо (отставание). Таким образом, напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол  (находятся в противофазе).

Ординаты кривой напряжения

u=U_msin(t+_u)

согласно (6.13) равны алгебраической сумме ординат кривых u_r, u_L, и u_C.

Определение напряжения u сводится к вычислению амплитуды U_m и начальной фазы _u, которые могут быть найдены непосредственным суммированием трех синусоидальных функций времени u_r, u_L, и u_C с последующими тригонометрическими преобразованиями. Однако, как указывалось, проще всего задача решается комплексным методом.

Запишем комплексный ток и комплексные напряжения на основании выражений для их мгновенных значений:

; (6.17)

; (6.18)

; (6.19)

; (6.20)

. (6.21)

В выражениях для U_L. и U_C учтено, что

e^j/2=cos(/2)+jsin(/2)=j, e^‑j/2=cos(‑/2)+jsin(‑/2)=‑j=1/j.

Сопоставив выражения для мгновенных напряжений u_L, и u_C (6.15), (6.16) с комплексными напряжениями U_L и U_C (6.19), (6.20), можно установить простое правило перехода от производной и интеграла синусоидальной функции времени к изображающим их комплексным величинам: синусоидальная функция заменяется изображающей ее комплексной величиной, дифференцирование заменяется умножением на j а интегрирование — делением на j.

Сумме синусоидальных напряжений (6.13) соответствует сумма изображающих их векторов или комплексных действующих напряжений:

U_r+U_L+U_C=U. (6.22)

Это соотношение представляет собой уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное в комплексной или векторной форме; оно представлено на векторной диаграмме (рис. 6.10). Напряжение u_r совпадает по фазе с током i, поэтому вектор U_r направлен одинаково с вектором I. Напряжение u_L опережает по фазе i на /2, поэтому вектор U_L сдвинут относительно вектора I на угол /2 вперед (против часовой стрелки). Напряжение u_C отстает по фазе от i на /2, поэтому вектор U_C сдвинут относительно вектора I на угол /2 назад (по часовой стрелке).

Соображения о взаимном расположении векторов напряжения и тока непосредственно следует и из записи выражений комплексных напряжений U_r, U_L, U_C. Вектор U_r (6.18) получается умножением I на действительную величину r. Аргумент комплексной величины rI такой же, как и комплексного тока I, поэтому направление вектора U_r совпадает с направлением вектора I. Вектор U_L (6.19) получается умножением I на jL. Умножение тока I на действительную величину L не изменяет аргумента, а умножение на j=е^j/2 увеличивает аргумент на /2. Следовательно, вектор U_L повернут относительно вектора I на угол /2 «вперед». Вектор U_C (6.20) получается делением I на jС. Деление комплексной величины на С не изменяет аргумента, а деление на j, что равносильно умножению на ‑j=е^-j/2, уменьшает аргумент на /2. Следовательно, вектор U_C повернут относительно вектора I на угол /2 «назад».

Так как умножение и деление вектора на j приводят к повороту вектора на /2 соответственно «вперед» и «назад», то множитель j называют оператором поворота на /2.

Сложив векторы U_r, U_L и U_C, получим вектор U. Его длина определяет действующее напряжение , а положение относительно координатных осей — начальную фазу _u.

Отношение комплексного напряжения к комплексному току называется комплексным сопротивлением:

Z=U/I=U_m/I_m=ze^j=z, (6.25а)

где z=U/I=U_m/I_m — отношение действующего или амплитудного напряжения соответственно к действующему или амплитудному току называется полным сопротивлением. Полное сопротивление равно модулю комплексного сопротивления. Аргумент комплексного сопротивления равен разности фаз напряжения и тока, т. е. =_u—_i. Комплексное сопротивление можно представить в виде

Z=ze^j=zcos+jzsin=r+jx, (6.256)

где r=zcos — действительная часть комплексного сопротивления, называется активным сопротивлением; x=zsin — значение мнимой части комплексного сопротивления, называется реактивным сопротивлением.

Очевидно, что

. (6.26)

Из (6.23а) следует, что для последовательного контура (см. рис. 6.8) комплексное сопротивление

Z=r+jx=r+j[L‑1/(С)],

причем реактивное сопротивление

x=L‑1/(С)=x_L-x_C, (6.27)

где

x_L=L; x_C=1/(С)

называются соответственно индуктивным и емкостным сопротивлениями.

Из (6.15) и (6.19) видно, что индуктивное сопротивление связывает между собой амплитуды или действующие значения напряжения на индуктивности и тока:

U_Lm=LI_m; x_L=L=U_L/I=U_Lm/I_m.

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте тока. Это объясняется тем, что напряжение на индуктивном элементе пропорционально скорости изменения тока: u_L=Ldi/dt.

Емкостное сопротивление, как следует из (6.16) и (6.20), связывает между собой амплитуды или действующие значения напряжения на емкости и тока:

U_Cm=I_m/(С); x_C=1/(С)=U_C/I=U_Cm/I_m.

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте тока. Эту зависимость от частоты легко пояснить, если считать заданным напряжение на емкостном элементе, а искомой величиной ток: i=dq/dt=Cdu_C/dt. Ток прямо пропорционален скорости изменения напряжения на емкостном элементе, и, следовательно, емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте напряжения.

Напряжения на последовательно соединенных индуктивности и емкости противоположны по фазе; поэтому в (6.27) для реактивного сопротивления х сопротивления x_L и x_C входят с различными знаками. Напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты по фазе относительно напряжения на сопротивлении соответственно на /2 и —/2. Поэтому эти сопротивления входят в Z как r, jx_L и —jx_C.

Следует отметить, что индуктивное и емкостное сопротивления являются величинами арифметическими ‑ положительными, а реактивное сопротивление x=x_L‑x_C ‑ величина алгебраическая и может быть как больше, так и меньше нуля.

Для ветви, содержащей только индуктивность, реактивное сопротивление x равно индуктивному сопротивлению x_L, а реактивное сопротивление x ветви, содержащей только емкость, равно емкостному сопротивлению, взятому со знаком минус, т. е. —x_C.

Заметим также, что для ветвей, каждая из которых содержит только сопротивление r, только индуктивность L или только емкость С, комплексные сопротивления соответственно равны:

Z_r=r; Z_L=jL; Z_С =‑j/(С).

Если ветвь содержит несколько последовательно соединенных резистивных, индуктивных и емкостных элементов, то при вычислении сопротивления и тока их можно заменить тремя элементами .