Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / 6.0

6. Расчёт электрических цепей методом контурных токов.

МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Для расчета режима сложной электрической цепи можно ограничиться совместным решением лишь к=(в—у+1) независимых уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа методом контурных токов; здесь в, как и ранее, — число ветвей и у — число узлов, при этом первый закон Кирхгофа, конечно, всегда удовлетворяется.

Для иллюстрации применения метода контурных токов рассмотрим схему на рис. 4.21,а с шестью ветвями и четырьмя узлами. Прежде чем составлять уравнения по второму закону Кирхгофа, надо выбрать взаимно независимые контуры.

При выборе независимых контуров можно применять то же правило, что и при записи уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для схемы рис. 4.21, а ветви с токами I₄, I₅ и I₆, соединяющие узлы 1, 2, 3, 4, можно выбрать в качестве ветвей дерева (рис. 4.21,6); поэтому ветви с токами I₁, I₂ и I₃ будут ветвями связи. На рис. 4.21,6 элементы ветвей дерева изображены сплошными линиями, а элементы ветвей связи — штриховыми.

Для схем на рис. 4.21, а и б по первому закону Кирхгофа

I₁-I₄-I₃=0, I₅+I₂-I₁=0, I₆+I₃-I₂ =0. (4.41)

На основании второго закона Кирхгофа для трех контуров, каждый из которых включает только одну ветвь связи,

. (4.42)

Пользуясь уравнениями (4.41), исключим из уравнений (4.42) токи I₄, I₅ и I₆ всех ветвей дерева, общих для нескольких контуров; в результате получим

(4.43)

В соответствии с уравнениями (4.43) можно принять, что каждый из токов I₁, I₂ и I₃ замыкается через соответствующую ветвь связи в одном из контуров (рис. 4.21, а и б), и назвать такие токи контурными: I_1К=I₁; I_2К=I₂; I_3К=I₃. Напряжения на резистивных элементах любого контура равны алгебраической сумме напряжений, обусловленных токами своего и смежных контуров. Например, в контуре из элементов r₁ r₅ и r₄ разность ЭДС Е₁—Е₄ равняется сумме трех напряжений: от собственного контурного тока I_1К на всех сопротивлениях этого контура и от токов I_2К и I_3К соответственно на сопротивлениях r₅ и r₄. Токи в ветвях дерева, общих для нескольких контуров, равны алгебраическим суммам контурных токов:

I₄=I_1К-I_3К, I₅=I_1К-I_2К, I₆=I_2К-I_3К. (4.44)

Для этой же схемы можно получить и другие взаимно независимые уравнения. Например, выберем другое дерево из первой, пятой и шестой ветвей (рис. 4.21, в), так что вторая, третья и четвертая ветви будут ветвями связи, токи в которых совпадают с контурными. Применив в этом случае второй закон Кирхгофа для контуров 2-3-4-2, 3-1-2-4-3 и 2-4-1-2, получим уравнения с контурными токами I_2К, I_3К и I_4К замыкающимися через ветви деревьев по ветвям связи. Токи в ветвях дерева однозначно определяются через токи ветвей связи (совпадающие с контурными) по формулам

I₁=I_3К+I_4К, I₅=I_3К+I_4К-I_2К, I₆=I_2К-I_3К.

Выражение для тока I₅ получено по первому закону Кирхгофа для токов в ветвях, примененному к главному сечению S₅, след которого показан на рис. 4.21, в штриховой линией.

Таким образом, система взаимно независимых уравнений определяется структурой выбранного дерева и соответствующими ветвями связи.

Схема рис. 4.21, а имеет 16 деревьев, поэтому для такой схемы можно написать 16 систем независимых уравнений, каждая из которых содержит в качестве неизвестных три тока, замыкающихся по ветвям связи через ветви выбранного дерева.

Из приведенных примеров следует, что для определения токов в ветвях этим методом нужно ввести в расчет контурные токи и решить совместно систему уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа; число этих уравнений меньше числа неизвестных токов ветвей в на число узлов схемы без одного (у—1). При замене токов в ветвях контурными токами первый закон Кирхгофа удовлетворяется для каждого узла, так как каждый контурный ток в одной из ветвей контура направлен к узлу, а в другой — от того же узла. Например, для узла 4 (рис. 4.21, а) по первому закону Кирхгофа для токов ветвей получим: I₄—I₅—I₆=0, или для контурных токов (I_1К-I_3К)-(I_1К-I_2К)-(I_2К-I_3К)=0.

Если схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то можно принять ток каждого из источников тока замыкающимся по любым ветвям дерева, составляющим с ветвью источника тока — ветвью связи — замкнутый контур. Падение напряжения, вызванное током такого источника на каждом из сопротивлений контура, учитывается при записи левой части уравнений по второму закону Кирхгофа. Эти напряжения можно также учесть с обратным знаком в правой части уравнений.

В качестве примера рассмотрим схему на рис. 4.17. На основании второго закона Кирхгофа

. (4.45)

Пользуясь первым законом Кирхгофа, исключим из этих уравнений токи I₄, I₅ и I₆; в результате после группировки слагаемых получим

. (4.46)

Из этих уравнений следует, что в рассматриваемом случае ток J как бы замыкается по ветвям с сопротивлениями r₅ и r₄, дополняющими ветвь с источником тока J до замкнутого контура.

При расчете электрических цепей изложенным методом всегда стремятся к тому, чтобы число контурных токов, замыкающихся через каждую из ветвей, было по возможности минимальным. С этой целью обычно выбирают каждый контур в виде ячейки (на рис. 4.21, а три ячейки с контурными токами I_1К, I_2К и I_3К), руководствуясь указанным выше правилом выбора независимых контуров (дерева и ветвей связи) при составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа, что возможно для любой планарной схемы.

Положительные направления контурных токов можно выбирать и произвольно, т. е. независимо от положительных направлений токов в ветвях.

Установим теперь более общие, необходимые для дальнейших выводов соотношения между контурными токами, сопротивлениями и ЭДС цепи произвольной конфигурации.

Для схемы, имеющей к независимых контуров, уравнения, аналогичные (4.43), запишутся в виде

(4.48)

В этих уравнениях сопротивление вида r_ll (с двумя одинаковыми индексами) называется собственным сопротивлением контура l, а сопротивление вида r_lk=r_kl (с двумя различными индексами) — общим сопротивлением контуров l и k. Правые части уравнений (4.48) называются контурными ЭДС. Каждая из контурных ЭДС вида Е, равна алгебраической сумме ЭДС всех источников в ветвях контура l. Положительные знаки в каждом уравнении (4.48) должны быть взяты для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода соответствующего контура.

В более общем случае для электрической цепи, которая содержит как источники ЭДС, так и источники тока, контурное уравнение для l-го контура записывается в виде

(4.48а)

где обозначает собственное сопротивление контура l; r_lj — общее сопротивление двух контуров: l и j; J_lj — ток источника тока, замыкающийся по ветви с сопротивлением r_lj; — контурная ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС в контуре).

Методом узловых потенциалов целесообразно пользоваться, если число узлов схемы, уменьшенное на единицу, меньше числа независимых контуров у—1<к, а методом контурных токов — при у-1>к.