Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / 17.0

17. Последовательный R-L-C контур. Резонанс напряжений.

РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ

Рассмотрим контур, состоящий из последовательно соединенных сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 1)

Рис. 1. Последовательный контур.

Напомним принятые обозначения:

1. строчными буквами обозначаются мгновенные значения: u, i, u_L, u_C;

2. заглавными буквами обозначаются действующие значения: U, I, U_L, U_C;

3. подчеркнутыми заглавными буквами - комплексные действующие значения: U, I, U_L, U_C.

Входное сопротивление контура:

.

Комплексное действующее значение тока контура имеет вид:

,

отсюда получается действующее значение тока

.

Аналогичным образом получаются выражения для действующих значений напряжений на индуктивности (U_L, U_L) и на емкости (U_C, U_C).

;

.

Условием наступления резонанса напряжений является равенство нулю реактивной составляющей входного сопротивления контура:

.

При резонансе реактивные сопротивления индуктивности и емкости равны:

,

эта величина называется характеристическим сопротивлением контура.

Отношение характеристического сопротивления контура к его омическому сопротивлению называется добротностью контура:

.

Заметим, что при =₀ отношение действующих значений напряжений на индуктивности и на емкости к действующему значению входного напряжения равно добротности:

.

Преобразуем выражение для действующего значения тока контура, вынеся активное сопротивление R за знак радикала а характеристическое сопротивление =₀L за скобки и учитывая определение Q:

.

Аналогичным образом получаем выражения для действующих значений напряжений на индуктивности и на емкости:

.

Введя относительную частоту _*=/₀, преобразуем полученные формулы к следующему виду:

Найдем точки максимумов этих трех кривых.

Очевидно, что при резонансной частоте полное входное сопротивление контура (z=Z) минимально и равно активному сопротивлению, тогда действующее значение тока максимально и равно:

Чтобы найти точки максимумов кривых U_L() и U_C() необходимо продифференцировать их по частоте, например:

приравняв к нулю числитель полученной дроби, уравнение для частоты максимума для действующего значения напряжения на индуктивности:

,

таким образом, частота максимума действующего значения напряжения на индуктивности равна:

.

Аналогично, частота максимума действующего значения напряжения на емкости равна:

.

Отметим, что: _L>₀, _C<₀, _L_C=₀². Если Q<1/2, то _L и _C - мнимые, т.е. кривые U_L() и U_C() не имеют максимумов.

Рассмотрим зависимость I() (рис. 2). Полосой пропускания называется частотный диапазон ₁₂, в котором выполняется условие:

.

Уравнение для границ полосы пропускания имеет вид:

.

Это - уравнение четвертого порядка, два корня которого являются границами полосы пропускания и имеют вид (два других корня - отрицательные и не имеют физического смысла):

.

Легко видеть, что: ₁₂=₀².