5. Расчёт электрических цепей методом узловых потенциалов.
Режим любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании первого и второго законов Кирхгофа, причем для определения токов во всех В ветвях необходимо составить и решить систему уравнений с В неизвестными.
Число уравнений, подлежащих решению, можно сократить, если пользоваться методом узловых потенциалов, основанным на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома.
Для выяснения сущности этого метода рассмотрим, например, электрическую схему, показанную на рис. 4.16.
Пусть потенциал одного из узлов, например узла 3, принят равным нулю, т. е. 3=0. Такое допущение не изменяет условий задачи, так как ток в каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, к которым присоединена ветвь, а от разности потенциалов между концами ветви.
Запишем уравнения на основании первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 этой схемы при выбранных положительных направлениях токов
(4.28)
Токи в ветвях согласно закону Ома
(4.29)
где 1 и 2 — потенциалы узлов 1 и 2.
После подстановки (4.29) в (4.28) и группировки членов получим
или
(4.30)
В этих уравнениях g11=g6+g5+g4+g1; g22= g6+g5+g2+g3 - суммы проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлам 1 и 2; g12=g21=g5+g6 - сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы.
Правая часть каждого из уравнений (4.30) равна алгебраической сумме произведений ЭДС в каждой ветви на проводимость ветви, присоединенной к рассматриваемому узлу. Произведение вида Eg записывается с положительным знаком в том случае, если ЭДС направлена к узлу, для которого записывается уравнение, и с отрицательным, если ЭДС направлена от узла.
Уравнения (4.30) не зависят от выбранных положительных направлений токов в ветвях.
Чтобы подтвердить это положение, рассмотрим опять схему, показанную на рис. 4.16, и для каждого узла примем положительные направления токов от узла.
Для узлов 1 и 2 справедливы уравнения
(4.31)
Принимая, как и раньше, 3=0, напишем выражения для токов ветвей:
для узла 1
(4.32а)
для узла 2
(4.326)
После подстановки (4.32) в (4.31) и группировки слагаемых получаются уравнения, совпадающие с (4.30).
Таким образом, можно написать уравнения для определения потенциалов узлов произвольной электрической цепи, не задаваясь положительными направлениями токов в ветвях, при этом потенциал одного из узлов надо принять равным нулю.
Если электрическая схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, войдут и токи источников тока. При составлении уравнений вида (4.30) токи заданных источников тока учитываются для каждого узла в виде слагаемых в правой части, причем, как было отмечено выше, с положительными знаками должны быть взяты токи источников тока, направленные к узлу, с отрицательными — от узла.
Например, для узлов 1, 2 и 3 схемы, показанной на рис. 4.17, при 4=0 получим соответственно следующие уравнения :
где
и
Если электрическая схема имеет в своем составе у узлов (у — любое целое число), а потенциал, например, у-го узла принят равным нулю, то для определения у—1 потенциалов остальных узлов получается у—1 уравнений:
(4.33)
или в более общей форме для любого узла p при у=0
(4.33а)
В этих уравнениях, так же как и в уравнениях (4.30), проводимость gpp (с двумя одинаковыми индексами) представляет собой суммарную проводимость ветвей, присоединенных к узлу p, и называется собственной узловой проводимостью этого узла; проводимость gjp=gpj с двумя различными индексами равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы j и p, и называется общей узловой проводимостью этих узлов. Правая часть каждого из уравнений содержит алгебраические суммы произведений ветви ЭДС Epj на проводимость этой ветви g’pj для всех ветвей, присоединенных к узлу p, ток Jp равен алгебраической сумме токов всех источников тока, присоединенных к тому же узлу. В свою очередь, правая часть уравнений (4.33) ток Jp(y) — узловой ток — равен алгебраической сумме — и токов, определяемых источниками ЭДС, которые присоединены к узлу p, при этом следует иметь в виду, что для замкнутых поверхностей сумма всех узловых токов, как это вытекает из первого закона Кирхгофа, равна нулю. К узловым токам можно отнести и уже известные в каких-либо ветвях токи. Проводимости таких ветвей в выражения вида gpp и gjp не входят.
Решив уравнения (4.33), можно определить потенциалы узлов, а зная потенциалы, найти токи во всех ветвях по закону Ома.
Если в цепи имеются ветви с идеальными источниками ЭДС и сопротивлениями этих ветвей можно пренебречь, то при составлении уравнений (4.33) получается неопределенность, поскольку проводимости таких ветвей бесконечно большие. Такое затруднение преодолевается путем переноса заданной ЭДС из ветви с нулевым сопротивлением через соответствующий узел в другие ветви, присоединенные к тому же узлу и имеющие конечные значения сопротивлений. В результате такого преобразования токи во всех ветвях заданной схемы не изменяются.
Для иллюстрации рассмотрим схему (рис. 4.18, а), у которой сопротивление ветви 2-4 равно нулю, а ЭДС равна Е. Если в каждую ветвь, присоединенную, например, к узлу 2, включить источник напряжения с ЭДС, равной Е и направленной от узла 2 (на рис. 4.18, а эти ЭДС изображены штриховой линией), то токи во всех ветвях останутся без изменения, поскольку разности потенциалов между точками 1', 3', 4' будут, так же как и в заданной схеме, равны нулю. Теперь потенциалы узлов 2 и 4, очевидно, одинаковы и их можно объединить в одну точку (рис. 4.18,6). Для полученной схемы с тремя узлами (вместо четырех) можно составить два независимых уравнения вида (4.33), из которых определяются искомые потенциалы двух узлов, а затем по закону Ома токи во всех ветвях схемы (рис. 4.18,6), после чего легко найти ток в ветви с сопротивлением r=0 (рис. 4.18, а) по первому закону Кирхгофа.
Рассмотренную и аналогичные ей задачи можно решить и без предварительного переноса ЭДС через узел в другие ветви. Действительно, если принять в заданной схеме (рис. 4.18, а) 4=0, то потенциал 2 узла 2, очевидно, будет равен Е. Для определения двух неизвестных потенциалов 1 и 3 нужно составить уравнения (4.33), которые полностью совпадут с уравнениями, составленными для тех же узлов эквивалентной схемы (рис. 4.18,6). Перенос приходится делать, идеальные ЭДС включены в ветви, не имеющие общего узла.
Полезно еще рассмотреть применение уравнений (4.33) для частного случая схемы с двумя узлами и произвольным числом ветвей, все или часть которых содержат источники ЭДС. Требуется определить напряжение между этими узлами.
Пусть между узлами 1 и 2 включено т ветвей (рис. 4.19). Найдем напряжение U12, записав уравнение (4.33) для первого узла
,
откуда
(4.34)
где числитель представляет собой алгебраическую сумму произведений ЭДС на проводимость для всех ветвей, содержащих ЭДС (с положительным знаком записываются ЭДС, направленные к узлу 1), а знаменатель — арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, включенных между узлами.
Если между узлами 1 и 2 включены еще источники тока, то их значения следует добавить в числитель (4.34), причем со знаком плюс записываются токи, направленные к узлу 1.
Пример. На рис. 4.20, а изображена электрическая схема с шестью неизвестными токами; ЭДС источников: Е1=6 В, Е2=12 В, Е3=18 В; сопротивления ветвей: r1=r2=r3=2 Ом и r4=r5=r6=6 Ом. Пользуясь методом узловых потенциалов, определить токи во всех ветвях.
Решение. Пусть потенциал точки 0 равен нулю. Запишем уравнения для узлов с потенциалами 1 2 и 3:
или после подстановки численных значений проводимостей и ЭДС
Решив совместно эти уравнения, найдем искомые потенциалы: 1=‑9 В; 2=3 В; 3=6 В. Для определения токов в ветвях следует задаться их положительными направлениями. При выбранных положительных направлениях токов (рис. 4.20)
Пример. На рис. 4.20, а изображена электрическая схема с шестью неизвестными токами; ЭДС источников: Е1=6 В, Е2=12 В, Е3=18 В; сопротивления ветвей: r1=r2=r3=2 Ом и r4=r5=r6=6 Ом. Пользуясь методом узловых потенциалов, определить токи во всех ветвях.
Решение. Пусть потенциал точки 0 равен нулю. Запишем уравнения для узлов с потенциалами 1 2 и 3:
или после подстановки численных значений проводимостей и ЭДС
Решив совместно эти уравнения, найдем искомые потенциалы: 1=‑9 В; 2=3 В; 3=6 В. Для определения токов в ветвях следует задаться их положительными направлениями. При выбранных положительных направлениях токов (рис. 4.20)
