12. Метод комплексных амплитуд расчёта цепей синусоидальных токов. Взаимосвязь синусоидальной функции времени и его изображения в виде комплексного числа.
Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, ЭДС и т. д. векторами или комплексными числами.
Предположим, что некоторая величина (ток, напряжение, магнитный поток и т. п.) изменяется по синусоидальному закону:
v=Vmsin(t+).
Возьмем прямоугольную систему осей МОN (рис. 6.4). Расположим под углом относительно горизонтальной оси ОМ вектор Vm, длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде Vm (положительные углы откладываются против, а отрицательные — по часовой стрелке). Представим себе, что вектор Vm с момента t=0 начинает вращаться вокруг начала координат О против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте . В момент времени t вектор составит с осью ОМ угол t+. Его проекция на ось NN равна в выбранном масштабе мгновенному значению рассматриваемой величины v.
Мгновенные значения v как проекции вектора на ось NN можно получить и другим путем, оставляя вектор Vm неподвижным и вращая, начиная с момента t=0, ось NN по часовой стрелке с угловой скоростью . В этом случае вращающуюся ось NN называют линией времени.
Таким образом, между мгновенным значением v и вектором Vm можно установить однозначную связь. На этом основании вектор Vm называют вектором, изображающим синусоидальную функцию времени, или, кратко, вектором величины v. Так, например, говорят о векторах напряжения, ЭДС, тока, магнитного потока и т. д. Конечно, эти векторы имеют смысл, отличный от смысла векторов, определяющих физические величины в пространстве, к которым относятся векторы скорости, силы, ускорения, напряженности электрического поля и т. п.
Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, будем обозначать подчеркнутыми прописными (большими) буквами. Совокупность векторов, изображающих рассматриваемые синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой.
Если считать оси ММ' и NN осями действительных и мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор Vm соответствует комплексному числу, модуль которого равен Vm и аргумент — углу . Это комплексное число Vm называется комплексной амплитудой рассматриваемой величины.
Комплексную амплитуду можно записать в полярной, показательной, тригонометрической и алгебраической формах:
,
(6.5)
где
.
Если вектор Vm, начиная с момента времени t=0, вращается против часовой стрелки с угловой скоростью , то ему соответствует комплексная функция времени, которая называется комплексной мгновенной величиной:
.
Значение ее мнимой части равно рассматриваемой синусоидально изменяющейся величине v.
Таким образом, величина v и ее изображение — комплексная амплитуда — однозначно связаны следующим равенством:
,
(6.6)
где символ Im обозначает, мнимую часть комплексной функции времени, записанной в квадратных скобках.
Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин, методом комплексных амплитуд или комплексным методом расчета.
Комплексный метод был введен в электротехнику американским ученым и инженером Ч. П. Штейнметцем.