47. Уравнения Максвелла и теорема Умова - Пойнтинга в комплексной форме.
Первое уравнение Максвелла:
101\* MERGEFORMAT (.)
в декартовых координатах:
202\* MERGEFORMAT (.)
Рис. 21. К определению вихрей переменного магнитного поля:
а) контур l охватывает проводники с током,
б) контур l охватывает переменное электрическое поле.
Физический смысл первого уравнения Максвелла: магнитное поле порождается не только током проводимости, но и изменением во времени связанных зарядов – током смещения.
Интегрируя первое уравнение Максвелла (1.68) по произвольной поверхности S, получим:
, 303\* MERGEFORMAT (.)
интеграл в левой части
преобразуем по теореме Стокса в циркуляцию
вектора
по контуру l поверхности
S, а интегралы в правой
части есть полный ток проводимости и
полный ток смещения, соответственно.
Исходя из этого, получаем закон полного
тока:
, 404\* MERGEFORMAT (.)
являющийся обобщением равенства (1.47), где:
‑
‑ поток вектора электрической индукции.
Второе уравнение Максвелла:
Рис. 22. К определению вихрей переменного электрического поля.
, 505\* MERGEFORMAT (.)
в декартовых координатах:
606\* MERGEFORMAT (.)
Меняющееся во времени магнитное поле вызывает (независимо от параметров среды) электрическое поле и при том такое, что для всякого произвольно выбранного контура циркуляция вектора напряжённости этого поля равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром.
Уравнение источников электрического поля:
,
в декартовых координатах:
.
Уравнение источников магнитного поля:
,
в декартовых координатах:
.
Теорема Умова – Пойнтинга о сохранении энергии в электромагнитном поле.
В произвольном объёме V сосредоточена энергия, равная:
. 707\* MERGEFORMAT (.)
Из первого и второго уравнений Максвелла имеем:
.
Умножая скалярно первое
равенство на
,
а второе на
и складывая, получим:
. 808\* MERGEFORMAT (.)
Из определения векторного произведения следует:
,
учитывая, что:
,
перепишем (1.75) в виде:
,
интегрируя по объёму и меняя знак, получим:
909\* MERGEFORMAT (.)
где вектор Пойнтинга:
.
Рис. 23. Взаимная ориентация векторов напряжённости электрического поля, напряжённости магнитного поля и вектора Пойнтинга.
Энергия электромагнитного
поля в каждой точке движется по нормали
к плоскости векторов
и
в сторону поступательного перемещения
правого винта, вращаемого от вектора
к вектору
на наименьший угол. Количество энергии,
протекающей через единичный участок
этой плоскости в единицу времени:
.
Рис. 24. Возможные направления вектора Пойнтинга при убывании энергии в объёме V.
Рис. 25. Возможные направления вектора Пойнтинга при увеличении энергии в объёме V.
В проводнике с током (рис. 25)
вектор напряжённости магнитного поля
к его поверхности, вектор напряжённости
электрического поля
имеет нормальную
и тангенциальную
составляющие, причём последняя направлена
так же, как ток. Поэтому вектор Пойнтинга
у поверхности имеет вид:
.
Первое слагаемое вектора
Пойнтинга
направлено вдоль проводника и определяет
энергию переносимую вдоль проводника.
Второе слагаемое
направлено вглубь проводника, на
постоянном токе это энергия, переходящая
в тепло. Т.о. энергия, переносимая вдоль
проводника определяется нормальной
составляющей вектора напряжённости
электрического поля
,
а энергия, входящая в проводник (потери)
определяется тангенциальной составляющей.
Рис. 26. Поле на поверхности проводника с током.
Рис. 27. Движение энергии внутри проводника с током.
Рассчитаем поток энергии,
входящей в проводник на участке длиной
l. Проводник имеет
форму цилиндра с радиусом a
и по нему течёт ток I.
На рис. 27. показано направление векторов
у поверхности проводника. Т.к.
и
перпендикулярны друг к другу, касательны
к поверхности проводника и одинаковы
во всех точках проводящей поверхности,
то поток мощности внутрь проводника
равен:
,
где: S - поверхность проводника, j - плотность тока в проводнике. Тогда:
.
Поток электромагнитной энергии равен количеству тепла, выделенному по закону Джоуля – Ленца.
Передача энергии вдоль линии
постоянного тока. На рис. 28 а) схема
линии, на рис. 28 б) силовые линии поля в
поперечном сечении. Если сопротивление
линии равно нулю, у поверхности проводов
вектор напряжённости электрического
поля имеет только нормальную составляющую.
У потребителя R основной
составляющей напряжённости электрического
поля является тангенциальная. Направление
векторов
и
вблизи верхнего и нижнего проводов
таково, что в обоих случаях вектор
Пойнтинга направлен от источника к
потребителю.
Рис. 28. Движение энергии вдоль линии постоянного тока.
а) схема линии, б) силовые линии поля в поперечном сечении.
Энергия течёт к нагрузке в диэлектрике, окружающей провода, энергия вошедшая в провод (если его сопротивление ненулевое), целиком превращается в тепло. Т.о. провода являются направляющими для передачи энергии в диэлектрике.
Уравнения Максвелла и теорема Умова – Пойнтинга в комплексной форме.
Черта над буквой означает вектор, подчёркивание буквы – комплексное изображение синусоидальной величины, нижний индекс m – амплитудное значение.