4. Радиально-сферический фильтрационный поток.

В данном случае предполагается пласт неограниченной толщины с плоской горизонтальной непроницаемой кролей, через которую скважина сообщается с пластом полусферическим забоем. При эксплуатации такой скважины траектории движения всех частиц флюида в пласте будут прямолинейными и радиально-сходящимися к центру забоя.

Давление и скорость фильтрации будут функцией только расстояния до центра забоя, т.е. радиуса .

.

На практике такой случай встречается, когда скважина вскрывает только кровлю пласта, а глубина вскрытия значительно меньше толщины пласта.

Уравнение Лапласа для потенциала скорости фильтрации в сферических координат:

; (37)

,

где - приведенное давление;

K=const

=const. . (38)

Интегрируем (38):

или . (39)

Интегрируем (39): . (40)

.

.

Подставляя постоянные и в (40) получим распределение давления в радиально-сферическом фильтрационном потоке несжимаемой жидкости: .

При отборе жидкости из пласта:

. (41)

При нагнетании жидкости в пласт:

. (42)

Графики зависимости имеет вид гиперболической кривой:

Градиент давления:

. (43)

Скорость фильтрации

. (44)

Дебит добывающей скважины (т.е. расход жидкости через полусферическую поверхность радиуса ):

. (45)

Выражения (44) и (45) также справедливы и для нагнетательной скважины, если вместо подставить .

Закон движения частиц жидкости вдоль их траекторий т.е. определяется из соотношения:

; откуда . (46)

Интегрируя (46) с учетом (44) для получим:

. (47)

Средневзвешенное по объему порового пространства приведенное пластовое давление:

, (48)

где ; .

Подставив в (48) из (42) и проинтегрировав, получим:

. (49)

Если влиянием сил тяжести нельзя пренебречь, то во всех выражениях - это полное (приведенное) давление , где - истинное давление в данной точке пласта.