4. Особенности фильтрации при малых скоростях.
При
очень малых скоростях флюида в пористой
среде обнаруживается существенное
отклонение от закона Дарси, проявляющееся
в более быстром увеличении скорости
фильтрации
с ростом градиента давления
P/L.
Это явление особенно заметно при фильтрации жидкостей (воды, нефти) в тонкозернистых породах (глинистых).
-начальный
градиент давления, необходимый для
начала фильтрации.
Объясняется это явление тем, что жидкость (в том числе, нефть) определенным образом физико-химически взаимодействует с поверхностью твердого тела (этим же объясняется модель «прилипания» жидкости). Пористые тела имеют весьма развитую поверхность. В результате тончайшие слои жидкости около твердой поверхности образуют загустевшие студнеобразные структуры, частично или полностью перекрывающие поры. Чтобы началось движение, нужно разрушить эту структуру, приложив некоторый перепад давления.
При весьма малых скоростях жидкости сила вязкого трения мала по сравнению с силами межфазового взаимодействия жидкости с твердой поверхностью. При увеличении скорости жидкости уменьшается вклад межфазового взаимодействия в гидравлическое сопротивление пористой среды, но возрастает вклад обычного гидродинамического вязкого трения. Для фильтрации при малых скоростях предложена следующая упрощенная зависимость:
|
(22) |
.
II. Дифференциальные уравнения фильтрации флюидов в нефтегазоносных пластах
Основной
кинематической характеристикой движения
флюида в пласте является скорость
фильтрации
,
которая может быть различной в разных
точках пласта и переменной во времени
– т.е. образует физическое поле скоростей
фильтрации.
Поле
может быть стационарным и нестационарным.
Скорость
фильтрации
существенно зависит от распределения
давлений в пласте, т.е. от поля давлений
;
распределения температур в пласте
;
от пористости пласта
;
его проницаемости
.
Существенны
также плотность флюида
и его вязкость
.
Процесс
фильтрации может быть изотермическим,
если
и одинакова во всем пласте; и неизотермическим
(например, при закачке в пласт горячей
воды, пара).
Система дифференциальных уравнений фильтрации включает в себя: уравнение неразрывности; дифференциальное уравнение движения; уравнения состояния флюида и пористой среды.
1. Уравнение неразрывности.
Уравнение неразрывности является частным случаем закона сохранения массы для движущегося в пористой среде флюида.
Р
ассмотрим
конечный неизменный объем пористой
среды V,
о
граниченный
поверхностью S.
В общем случае считаем флюид сжимаемым, т.е. , а пористую среду упруго-деформируемой, т.е. .
Масса флюида в данном объеме пористой среды V
.
Изменение массы флюида
в данном объеме пористой среды связано
с изменением плотности
или пористости
и может происходить только за счет
разности втекания и вытекания флюида
через поверхность S.
Скорость изменения массы флюида в объеме V:
должна быть равна секундному массовому расходу флюида через поверхность S:
(
- скорость фильтрации)
(входящий поток отрицателен; выходящий – положителен; т.о. при положительной скорости изменения массы флюида в объеме V данный интеграл необходимо брать со знаком «минус»).
Итак:
|
(1) |
.На основании формулы Остроградского-Гаусса:
|
(2) |
.
.
Из (1) и (2)
|
(3) |
.Т.к. объем V выбран произвольно, то
|
(4) |
.Уравнение (4) – дифференциальное уравнение неразрывности флюида в пористой среде в самом общем случае движения (нестационарное движение сжимаемого и несжимаемого флюида в упруго-деформируемой пористой среде).
Для недеформируемой пористой среды m=const, из (4) получаем:
|
(5) |
.Для стационарной фильтрации сжимаемого флюида:
Если сжимаемостью флюида можно пренебречь: |
(6)
|
|
(7) |
.