2. Дифференциальные уравнения многофазной фильтрации.

Система уравнений, описывающая многофазную фильтрацию, строится на основе: – уравнений неразрывности для каждой фазы;

– уравнения движения (закона фильтрации);

– уравнений состояния флюидов и пористой среды.

Будем рассматривать изотермическую фильтрацию в однородной пористой среде без фазовых переходов химических реакций.

а) Уравнение неразрывности фаз.

Рассмотрим конечный неизменный объём пористой среды , ограниченный поверхностью . Объём порового пространства V ; насыщенность порового пространства i-ой фазой - .

; .

Масса i-ой фазы в данном объёме :

.

Скорость изменения массы i-ой фазы в рассматриваемом объёме :

должна быть равна секундному массовому расходу i-ой фазы через поверхность : ,

т. е.

. (11)

На основании формулы Остроградского-Гаусса:

. (12)

(11) запишем в виде:

. (13)

В силу произвольности объёма из (13) получим:

. (14)

Система (14) – система дифференциальных уравнений неразрывности фаз при фильтрации в однородной пористой среде.

Для двухфазной системы уравнения неразрывности записываются в виде:

для вытесняющей фазы: ; (15)

для вытесняемой фазы: . (16)

Если вытесняющая и вытесняемая фазы - слабосжимаемые жидкости (вода-нефть), т. е. ; , а пористую среду также считать несжимаемой ( ), то уравнения (15) (16) приводятся к виду:

; (17)

. (18)

б) Уравнения движения фаз.

Из уравнений неразрывности (14) и закона фильтрации фаз (4) можно получить дифференциальное уравнение движения фаз:

• для многофазной системы:

; (19)

• для двухфазной системы (жидкости – несжимаемые; пористая среда – несжимаемая):

; (20)

. (21)

3. Одномерная фильтрация двухфазной жидкости.

Наиболее разработана в настоящее время теория одномерного (прямолинейно-параллельного и плоскорадиального) движения двухфазной жидкости в пористой среде.

Рассмотрим прямолинейно-параллельное вытеснение нефти водой вдоль оси Х. При этом предполагается:

------ жидкости – взаимно нерастворимы и несжимаемы;

------ пористая среда – недеформируема;

------ фазовые переходы отсутствуют;

------ коэффициенты вязкости фаз постоянны;

------ относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление

являются известными функциями насыщенности.

Схема одномерной двухфазной фильтрации с учётом силы тяжести

зона нефть Х

смеси

вода

g

Уравнения неразрывности для фаз:

; . (22)

Закон фильтрации (4) сводится к уравнениям:

(23)

Неизвестные параметры: ; ; ; ; .

Давления и связаны соотношением:

. (24)

Система уравнений (22,23,24) может быть сведена к одному уравнению для насыщенности (1953 г., Л. Рапопорт и В. Лис).

Сложив уравнения неразрывности (22) для обеих фаз, получим:

,

откуда . (25)

Равенство (25) показывает, что суммарная скорость двухфазного потока ( а значит и суммарный расход ) не зависят от координаты , а является либо постоянной, либо известной функцией времени. (22) подставим в (25):

. (26)

Из (26) исключим с помощью равенства (24), продифференцированного по :

После преобразований имеем:

. (27)

Подставляя (27) в 1-е уравнение (23) получим:

, (28)

где: ; ; ; ;

Используя выражение (28) и уравнение неразрывности (22) для 1 фазы, окончательно получаем дифференциальное уравнение для определения насыщенности:

. (29)

Если суммарная скорость фильтрации постоянна: , то уравнение (29) можно упростить и перевести в безразмерный вид.

Введём безразмерные переменные: ; ; (30)

где – характерный линейный размер (например, расстояние до эксплуатационной галереи).

Тогда с учётом (24) уравнение (29) принимает вид:

. (31)

где и – безразмерные параметры:

; . (32)

Безразмерный параметр характеризует отношение силы тяжести к силам вязкого трения. Параметр – отношение капиллярных сил к силам вязкого трения.

Если рассматривать вытеснение в пределах всего пласта и темпы вытеснения достаточно велики, то значения параметра будут малы: и капиллярными силами можно пренебречь

Силой тяжести можно пренебречь, если , что имеет место при условии: .

В случае одномерного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей в условиях, когда можно пренебречь капиллярными эффектами, а также влиянием силы тяжести, уравнение (31) приводится к виду:

. (33)

Т. к. , то уравнение(33) запишем в виде:

. (34)

Функция называется функцией Баклея-Леверетта и характеризует распределение потоков фаз – отношение скорости фильтрации вытесняющей фазы к суммарной скорости .

.

; . (34а)

Функция Баклея-Леверетта определяет полноту вытеснения и характер распределения насыщенности по пласту.

Задачи повышения нефтеотдачи пласта в значительной степени сводятся к применению таких воздействий на пласт, которые изменяют вид функции в направлении увеличения полноты вытеснения.

Характерной особенностью функции Баклея-Леверетта является наличие точки перегиба ,где вторая производная соответственно больше или меньше нуля. Эта особенность определяет специфику фильтрационных задач вытеснения.

Используя графики и можно (численными методами) решить уравнение (34) и получить графическую зависимость .

Анализ зависимости показывает, что с течением времени наклон кривых становится круче и, наконец, в некоторый момент времени возникает разрыв (скачок) функции , т. е. движущейся вдоль или волны насыщенности вытесняющей фазы.

График распределения водо-

насыщенности при вытесне-

нии нефти из слабообвод-

ненного пласта.

Важным является определение скорости движения скачка насыщенности или в безразмерной форме .

Рассмотрим условие сохранения массы каждой из фаз при прохождении поверхности разрыва через некоторый элемент объёма пористой среды.

Пусть в некоторый момент разрыв имел координату ,

а через ----- . Поток 1 фазы через сечение за время равен:

.

Условие сохранения массы 1 фазы:

. (35)

Откуда: . (36)

Условие сохранения массы 2 фазы аналогично (35), т. к. суммарная скорость фильтрации сохраняется:

(37)

т. к. ; , (38)

т. о. из (36) получаем:

. (39)

Если перейти к безразмерным переменным, то легко получить:

; (40)

- суммарная скорость фильтрации: .

– начальная обводнённость нефтяного пласта. Если нефтяной пласт безводный, то .

– предельная водонасыщенность пласта при закачке в пласт воды (определённая часть нефти вследствие капиллярного взаимодействия с породой остаётся в пласте и не может быть вытеснена водой).

( )

Х

Необходимо отметить, что при увеличении отношения (т. е. при увеличении вязкости вытесняющей фазы) эффективность вытеснения возрастает. Например, применение пен и загустителей, повышающих вязкость нагнетаемой воды, может значительно увеличить значение и, следовательно, нефтеотдачу.

При вытеснении нефти водой из сильнообводнённого пласта скачка насыщенности не образуется. Эффективность вытеснения водой мала.