3.Дифференциальное уравнение неустановившейся

фильтрации упругой жидкости.

Общее дифференциальное уравнение неустановившегося движения упругого флюида (жидкости и газа) в деформируемой пористой среде по закону Дарси:

(к = const = const)

.

(7)

Уравнения состояния упругой жидкости и упругой пористой среды возьмем в виде:

; (8)

. (9)

Перемножим (8) на (9)

. (10)

Учитывая, что

из (10) получим: . (11)

(11) дифференцируем по t:

. (12)

Функция Лейбензона для упругой жидкости (при умеренных давлениях)

. (13)

Дифференцируя (13) дважды по координатам и складывая, получим:

. (14)

Подставляя (12) и (14) в (7), получим:

. (15)

Обозначим: æ. (16)

Тогда (15) записывается в виде:

= æ (17)

или æ . (18)

Уравнение (17) является основным дифференциальным уравнением упругого режима фильтрации. По предложению В.Н.Щелкачева оно названо уравнением пьезопроводности и относится к уравнениям Фурье (уравнениям теплопроводности).

Коэффициент æ, характеризующий скорость перераспределения пластового давления при неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде, называется коэффициентом пьезопроводности пласта (по аналогии с коэффициентом температуропроводности в уравнении теплопроводности).

æ=0,1 5 м /с.

4.Плоскорадиальный фильтрационный поток упругой

жидкости.

Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h имеется добывающая скважина нулевого радиуса (точечный сток).

В момент времени t во всем пласте Р (r,0) = Р_к = const.

В момент t=0 скважина пущена в эксплуатацию c постоянным дебитом Q₀.

В пласте возникает неустановившийся плоскорадиальный поток упругой жидкости. Необходимо определить распределение давления в пласте в любой момент времени: Р (r, t).

Запишем основное уравнение упругого режима фильтрации

æ (19)

в цилиндрической системе координат:

æ (20)

или: = æ . (21)

Начальные и граничные условия:

;

υ (22)

t>0

Последнее условие запишем в виде:

. (23)

Для того чтобы проинтегрировать уравнение (3) необходимо перейти к безразмерным переменным:

безразмерное давление: ; (24)

размерные аргументы r и t можно

объединить в один безразмерный комплекс: . (25)

Тогда

О чевидно:

; . (26)

Подставляя (26) в (21) получим обыкновенное дифференциальное уравнение:

. (27)

Граничные условия: при Р=1.

Кроме того (23) запишем в виде:

. (28)

(Действительно: ).

Заменим: (27) запишем в виде: . (29)

или: . (30)

Интегрируем (30):

. (31)

Из (31) . (32)

Интегрируем (32) в пределах :

. (33)

т.к. , то , (34)

откуда . (35)

Из (32) (36)

Таким образом: ;

т.е. . (37)

Сделаем подстановку:

. (38)

Тогда

(39)

и перейдем в (37) к размерному давлению: :

. (40)

Интеграл называется интегральной показательной функцией, которая табулирована.

Таким образом давление в любой точке плоскорадиального потока в условиях упругого режима фильтрации определяется по формуле:

. (41)

Формула (41) называется основной формулой упругого режима фильтрации. Она имеет широкое практическое применение, и в частности используется при интерпретации результатов исследования скважин.

При малых значениях аргумента интегральная показательная функция имеет простую асимптотику:

. (42)

Следовательно, в этом случае

.

(43)

Из (41) расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность радиусом r:

.

(44)