2.6 Арифметические устройства
2.6.1 Общие сведения
Комбинационные устройства, которые рассматривались до сих пор, выполняют логические функции. Для описания их поведения используется аппарат алгебры логики. Входные и выходные сигналы высокого и низкого уровня оцениваются соответственно как логическая 1 и логический 0.
Дискретная техника оперирует и другим классом приборов, назначение которого состоит в выполнении арифметических действий с двоичными числами: сложения, вычитания, умножения, деления. К арифметическим устройствам относят также узлы, выполняющие специальные арифметические операции, как-то: выявление четности заданных чисел (определение паритета) и сравнение двух чисел.
Особенность арифметических устройств состоит в том, что сигналам приписываются не логические, а арифметические значения 1 и 0 и действия над ними подчиняются законам двоичной арифметики. Хотя арифметические устройства оперируют с численными величинами, для описания их работы также удобно пользоваться таблицами истинности. Арифметические устройства очень широко используются в ЦВМ и достаточно часто в аппаратуре информационно-измерительной техники.
Важнейшая из арифметических операций — сложение (суммирование). Помимо прямого назначения она используется и при других операциях: вычитание — это сложение, в котором вычитаемое вводится в обратном или дополнительном коде, а умножение и деление — это последовательное сложение и вычитание.
Сумматор – это функциональный узел, выполняющий операцию арифметического сложения чисел.
В устройствах дискретной техники суммирование осуществляется в двоичном или, реже, двоично-десятичном коде. По характеру действия сумматоры подразделяются на две категории: - комбинационные — как и все ранее рассмотренные узлы, не имеющие элементов памяти; - накопительные — сохраняющие результаты вычислений.
В свою очередь, каждый из сумматоров, оперирующий с многоразрядными слагаемыми, в зависимости от способа обработки чисел может быть отнесен к последовательному или параллельному типу.
Как последовательные, так и параллельные сумматоры строятся на основе одноразрядных суммирующих схем. Сложение чисел в последовательных сумматорах осуществляется поразрядно, последовательно во времени. В сумматорах параллельного действия сложение всех разрядов многоразрядных чисел происходит одновременно.
В дальнейшем речь будет идти только о комбинационных сумматорах.
2.6.2 Полусумматор
Простейшим суммирующим элементом является полусумматор. Происхождение этого термина станет ясным в ходе изложения. Одним из простейших суммирующих устройств является полусумматор, УГО и таблица истинности которого показаны на рисунке 2.12.
Входы |
Выходы |
||
А |
В |
Р |
S |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 0 0 1 |
0 1 1 0 |
Рисунок 2.12-УГО и таблица истинности полусумматора
Обозначением полусумматора служат буквы HS (half sum — полусумма). Полусумматор имеет два входа А и В для двух слагаемых и два выхода: S (сумма) и Р (перенос).
Логическая структура полусумматора строится на основании таблицы истинности, из которой следует, что работа полусумматора описывается следующими уравнениями:
Р = АВ
Выражение для выхода S, равно как и столбец S таблицы истинности, полностью совпадает с таблицей истинности для логического элемента «исключающее ИЛИ». Это обстоятельство объясняет, почему операцию «исключающее ИЛИ» называют сложением по модулю 2. Логическая структура полусумматора в общем и развернутом виде показана на рисунке 2.13.
Рисунок 2.13- Логическая структура полусумматора в общем и развернутом виде
2.6.3 Полный сумматор
Процедуру сложения двух n-разрядных двоичных чисел можно представить следующим образом (рисунок 2.14).
Рисунок 2.14-Сложение двух n-разрядных чисел
Сложение цифр А1 и В1 младшего разряда дает бит суммы S1 и бит переноса P1. В следующем (втором) разряде происходит сложение цифр Р1, А2 и В2, которое формирует сумму S2 и перенос Р2. Операция длится, пока не будет сложена каждая пара цифр во всех разрядах, результатом сложения будет число S=Pn Sn ... S1, где Рi и Si отображают 1 или 0, полученные в результате поразрядного сложения. Полусумматор имеет два входа и пригоден, поэтому для использования только в младшем разряде.
Устройство для суммирования двух многоразрядных чисел должно иметь, начиная со второго разряда, три входа: два для слагаемых Аi и Вi и один для сигнала переноса Рi-1 из предыдущего разряда. Этот узел называется полный сумматор, УГО и таблица истинности которого представлены на рисунке 2.15.
Входы |
Выходы |
|||
Рi-1 |
А |
В |
Рi |
S |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Рисунок 2.15-УГО и таблица истинности полного сумматора
Используя таблицу
истинности, можно получить следующие
выражения выходных функций
,
.
Эти выражения позволяют построить
логическую
структуру полного сумматора, которая
представлена на рисунке 2.16
Рисунок 2.16 -Логическая структура полного сумматора
2.6.4 Многоразрядный сумматор
Для построения многоразрядного сумматора используют полусумматор и полный одноразрядный сумматор, рассмотренные выше. Соединения, показанные на рисунке 2.17, осуществляются в соответствии с алгоритмом, который представлен на рисунке 2. 14.
Рисунок 2.17-Многоразрядный (трехразрядный) сумматор