Формула полной вероятности

Пусть событие A может произойти в результате по­явления одного и только одного события (i = 1, 2,..., n) из некоторой полной группы несовместных событий

События этой группы обычно называются гипотезами.

Теорема. Вероятность события А равна сумме парных произведений вероятностей всех гипотез, образующих полную группу, на соответствующие условные ве­роятности данного события А, т. е. (1) (формула полной вероятности), причем здесь (2)

Доказательство. Так как , причем, ввиду несовместности событий события также несовместны, то на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем что и требовалось доказать.

Пример. В магазин для продажи поступает продукция трех фабрик, относительные доли которых есть: I — 50%, II — 30% и ill — 20%. Для продукции фабрик брак соответственно составляет: 1 — 2%, II — 3% и 111 — 5%. Какова вероятность того, что изделие этой продукции, случайно приобретенное в магазине, окажется доброкачественным (событие A)?

Здесь возможны следующие три гипотезы: — приоб­ретенная вещь выработана соответственно на I, II и III фабриках; очевидно, система этих гипотез полная, причем их вероятности

P(Hi) = 0,5, Р(H₂) = 0,3, Р(H₃) = 0,2.

Соответствующие условные вероятности события А равны

= 1—0,02 = 0,98, = 1-0,03 = 0,97, = 1—0,05 = 0,95. По формуле полной вероятности имеем Р (А) = 0,5- 0,95 + 0,3. 0,97 + 0,2. 0,95 = 0,971.

Формула Бейеса

Рассмотрим следующую задачу: имеется полная группа несовместных гипотез

, вероятности которых Р (Н_{) (i = 1 , 2, . . . , п) известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт (испытание), в результате которого зарегистрировано по­явление события А, причем известно, что этому событию наши гипотезы приписывали определенные вероятности (i=l, 2, ..., n). Спрашивается, каковы будут вероятности этих гипотез после опыта (вероятности апостериори).

Например, очевидно, следует отбросить гипотезы, отри­цающие появление события A. Вообще, проблема состоит в том, что, имея новую информацию, мы должны пере­оценить вероятности наших гипотез. Иными словами, нам нужно определить условные ве-

Роятности (i=!, 2, ..., п).

На основании теоремы умножения вероятностей имеем отсюда (1)

Для нахождения вероятности Р (А) можно использо­вать формулу полной вероятности

(2)

Отсюда имеем формулу вероятностей гипотез после опыта (формулу Бейеса)

(3)

П р и ме р. Вероятность поражения самолета при одиночном выстреле для 1-го ракетного расчета (событие А) равна 0,2, а для 2-го (событие В) — 0,1. Каждое из орудий производит по одному выстрелу, причем зарегистрировано одно попадание в самолет (событие С). Какова вероятность, что удачный выстрел принадле­жит первому расчету?

До опыта возможны четыре гипотезы Н₁ = АВ, H₂ = А , H₃ = В и H₄ = ; эти гипотезы образуют полную группу событий. Вероятности их, при независимом действии расчетов, соот­ветственно равны

Р (Hj) = 0,2 0,1 = 0,02, Р (H₂) = 0,2*0,9 = 0,18, Р(H₃) = 0,8. 0,1 =0,08, Р(H₄) = 0,8-0,9 = 0,72, причем Р (H1) + Р (H₂) + Р (H₃) + Р (H₄) = 1 .

Условные вероятности для наблюдаемого события С при данных гипотезах будут:

, , ,

Следовательно, гипотезы Н_г и Н₄ отпадают; а вероятность гипотез Н₂ и Н₃ вычисляются по формуле Бейеса: ,

Таким образом с вероятностью приблизительно 0.7 можно утверждать, что удачный выстрел принадлежит первому расчету.