Теорема сложения вероятностей

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если АВ = О, то (1)

Доказательство. Пусть из общего числа п всех возможных и равновозможных элементарных исходов испытания т₁ благоприятствуют событию А, а m₂ — собы­тию В. Так как события А и В несовместны, то появле­ние события А исключает появление события В и обратно; поэтому число благоприятных исходов события A+В в точности равно Отсюда на основании класси­ческого определения вероятности получаем

Р (А + В) =

Следствие. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пусть, например, события А, В и С попарно несов­местны, т. е. события АВ, АС, ВС невозможны. Имеем

Замечание. Пусть теперь события А и В совмест­ны. Тогда число благоприятных элементарных исходов для события А + В будет , где m'—число элементарных исходов, благоприятных для события А В. Действительно, складывая числа исходов , благоприятных событиям А и В, мы исходы, благоприятные событию АB, считаем два раза; следо­вательно, при подсчете числа исходов для события А + В излишнее значение т' следует отбросить. Поэтому, в общем случае, имеем

= Р(А) + Р(В)—Р(АВ). (2)

Следствие. Так как Р(АВ) 0, то из формулы (2) имеем Р(А + В) Р(А) + Р(В), (3)

т. е. вероятность суммы двух событий никогда не превосходит суммы вероятностей этих событий.

Это утверждение, очевидно, справедливо также и для нескольких событий.

Пример. В урне находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих одинаковых по размеру шаров. Какова вероятность, что шар, слу­чайным образом извлеченный из урны, будет цветным (не белым)?

Пусть событие А — извлечение красного шара из урны, а со­бытие В — извлечение синего шара. Тогда событие A+B есть из­влечение цветного шара из урны. Очевидно, имеем

Р (A) =3/10, P(B) = 5/10.

Так как события А и В несовместны (извлекается только один шар), то по теореме сложения имеем

Полная группа событий

Определение. Система событий (1) называется полной группой событий для данного испытания, если любым исходом его является одно и только одно событие этой группы.

Иными словами, для полной группы событий (1) вы­полнены следующие условия:

1) событие достоверно;

2) события попарно несовместны, т.е. A_lA_j = 0 , где О—событие невозможное.

Простейшим примером полной группы событий явля­ется пара событий: А и .

Теорема. Сумма вероятностей событий полной группы равна единице.

Доказательство. Для полной группы (1) событие = D достоверно, а события этой группы попарно несовместны. Отсюда на основании теоремы сло­жения вероятностей имеем (2). Но , поэтому из (2) имеем

Теорема умножения вероятностей

Определение 1. Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается так: Р(А/В)=Р_В(А) (1)

Пример. В урне находятся 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность: i) извлечения из урны белого шара (со­бытие А); 2) извлечения из урны белого шара после удаления из нее одного шара, который является белым (событие В) или черным (событие С)?

Здесь

Р(А) =7/10 = 0,7; Р_В( А) =6/9| = 0,666...; Р_с (А) =7/9 = 0,777 . , .

Таким образом, условная вероятность события может быть как меньше, так и больше вероятности этого события.

Определение 2. Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого, т. е. (2) и (2')

В противном случае события называются зависимыми.

Теорема 1. Вероятность произведения (совмещения) двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в пред­положении, что первое имеет место, т. е. (3)

Доказательство. Пусть событию А благоприятст­вуют т, а событию АВ благоприятствуют k равновозможных элементарных исходов из общего их количества п. Тогда , (4)

Но если событие А произошло, то в этой ситуации воз­можны лишь те m элементарных исходов, которые благо­приятствовали событию А, причем k из них, очевидно, благоприятствуют событию В. Таким образом, . Отсюда на основании равенств (4) имеем (5)

Теорема доказана.

Так как ВА=АВ, то имеем также (6)

Замечание. Формула (5) формально остается вер­ной, если событие А невозможно.

Следствие. Для любых двух событий А и В спра­ведливо равенство

Р(А)Р_А(В) = Р(В)Р_В(А). (7)

Теорема 2. Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению ве­роятностей этих событий:Р(АВ) = Р(А)Р(В). (8)

Действительно, полагая, что Р_А(В) = Р(В), из фор­мулы (5) получаем формулу (8).

Пример. Вероятность поражения цели первым стрелком (событие А) равна 0,9, а вероятность поражения цели вторым стрелком (событие В) равна 0,8. Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком?

Пусть С — интересующее нас событие; противоположное собы­тие , очевидно состоит в том, что оба стрелка промахнулись. Таким образом, . Так как события независимы (при стрельбе один стрелок не мешает другому!), то

Отсюда вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком, есть

Р(С) = 1—Р ( ) = 1—0,02 = 0,98.

Теорема 1 допускает обобщение на случай нескольких событий. Например, для случая трех событий А, В и С имеем Р (AВС) == Р [A(ВС)] = Р(А)Р_А (ВС) = Р(A) Р_А (В) Р_АВ (С). (9)

Определение 3. События называются незави­симыми в совокупности, если каждое из них и любое произведение остальных (включающее либо все остальные события, либо часть из них) есть события не­зависимые.

События, независимые в совокупности, очевидно, по­парно независимы между собой; обратное неверно.

Теорема 3. Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произве­дению вероятностей этих событий.

Действительно, например, для трех независимых в со­вокупности событий А, В и С из формулы (9), учитывая, что , имеем Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С)