ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

А. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ § 1. Случайные события

В естественных науках познание действительности про­исходит в результате испытаний (экспериментов) или на­блюдений. Под испытанием (наблюдением), в общем смысле, подразуме­вается наличие определенного комплекса условий. Возможный результат—исход испытания или наблюдения—называется событием, независимо от его значимости.

Определение 1. Результат испытания, который нельзя заранее прогнозировать, называется случайным событием.

Иными словами, событие является случайным в данном опыте, если заранее нельзя предсказать, произойдет оно или не произойдет в этом опыте.

Например, случайным событием является выпадение герба при бросании монеты. Конечно, предполагается, что испытание организовано так, что исход его заранее не известен.

Определение 2. Событие называется достовер­ным в данном испытании (т.е. при осуществлении опре­деленной совокупности условий), если оно неизбежно проис­ходит при этом испытании.

Например, получение студентом положительной или отрицательной оценки на экзамене есть событие достовер­ное, если экзамен протекает согласно обычным правилам.

Определение 3. Событие называется невозможным в данном испытании, если оно заведомо не происхо­дит в этом испытании.

Например, если в урне находятся лишь цветные (небе­лые) шары, то извлечение из этой урны белого шара есть событие невозможное. Отметим, что при других условиях опыта появление белого шара не исключается; таким об­разом, это событие невозможно лишь в условиях нашего опыта.

Теория вероятностей есть наука, изучающая законо­мерности случайных событий.

В связи с развитием новой техники особый интерес представляют статистические закономерности массовых однородных случайных событий (контроль ка­чества продукции, обслуживание серийного производства, работа телефонной станции и т. п.). Здесь в различных вариантах установлена основная теорема теории вероят­ностей — «закон больших чисел».

Примем как аксиому, что для каждого события А можно определить, по крайней мере теоретически, вероят­ность этого события — число Р(А), представляющее, в не­котором смысле, «меру достоверности» данного события и подчиненное естественным требованиям. Предполагается, что вероятность любого события удовлетворяет нера-венству ; причем вероятность невозможного события равна нулю, а вероятность достоверного события равна единице.

Теория вероятностей широко используется в теорети­ческих и прикладных науках (в физике, геодезии, в теории стрельбы, в теории автоматического управления и многих других). В частности, она служит теоретической базой математической и прикладной статистики, на основе кото­рых происходит планирование и организация производства.

Алгебра событий

С каждым испытанием связан ряд интересующих нас событий, которые, вообще говоря, могут появляться одно­временно. Например, пусть при бросании игральной кости (т.е. кубика, на гранях которого имеются очки 1, 2, 3, 4, 5, 6) событие А есть выпадение одного очка, а собы­тие В есть выпадение нечетного числа очков. Очевидно, эти события не исключают друг друга.

Пусть все возможные результаты испытания осущест­вляются в ряде единственно возможных частных слу­чаев, взаимно исключающих друг друга (так называемые элементарные события или элементарные исходы). Тогда 1) каждый исход испытания представляется одним и только одним элементарным событием; 2) всякое событие А, свя­занное с этим испытанием, есть множество (совокупность) конечного или бесконечного числа элементарных событий; 3) событие А происходит тогда и только тогда, когда реализуется одно из элементарных событий, входящих в это множество.

Пример 1 . Пусть событие А состоит в выпадении нечетного числа очков при однократном бросании играль­ной кости.

За элементарные события здесь могут быть приняты следующие результаты испытания: (1), (2), (3), (4), (5), (6). Событие А представляет собой множество событий {(1), (3), (5)}.

Определение 1. Под суммой двух событий А и В понимается событие, которое имеет место тогда и только тогда, когда про­изошло хотя бы одно из событий А и В.

В общем случае, под суммой нескольких событий пони­мается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример 2. Пусть событие А есть выигрыш по займу I, а событие В — выигрыш по займу II. Тогда событие А + В есть выигрыш хотя бы по одному займу (возможно, по двум сразу!).

Определение 2. Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в одновременном появлении как события А, так и события В.

В общем случае, под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в одновременном осу­ществлении всех этих событий.

Пример 3. Пусть события А и В есть успешные прохождения соответственно туров I и II при поступле­нии в институт. Тогда событие АВ представляет собой успешное рохождение обоих туров.

События А и В называются несовместными в данном испытании, если произведение их есть событие невозмож­ное, т. е. АВ = 0, где О — невозможное событие.

Иными словами, два события несовместны, если появ­ление одного из них исключает появление другого и на­оборот.

Классическое определение вероятности

Пусть событие A—некоторый исход испытания и (1) — конечная система всех возможных и единственно возмож­ных попарно несовместных элементарных исходов этого испытания (полная система элементарных событий). Таким образом, событие А происходит тогда и только тогда, когда имеют место некоторые события из системы (1) (благоприятные или благоприятствующие ис­ходы или так называемые шансы для события А).

Предположим, что события системы (1) равновозможны, т. е. нет основания предполагать, что одно из событий системы (1) превалирует, в смысле появления, перед дру­гими. Иногда это можно установить, используя «свойство симметрии».

Определение 1. Под вероятностью Р(А) события А понимается отношение числа равновозможных элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных и единственно воз­можных элементарных исходов данного испытания.

Таким образом, если т — число элементарных исходов, благоприятных событию А, и п—общее число всех эле­ментарных исходов при данном испытании, и все эти исхо­ды равновозможны, то на основании определения имеем формулу: (2)

Так как, очевидно, , то (3) , т. е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Замечание. Из определения вероятности следует, что равновозможные элементарные события являются рав­новероятными, т. е. обладают одной и той же вероятностью.

Из определения вероятности вытекают следующие ос­новные ее свойства.

1 Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие А невозможно, то число благоприятных ему элементарных исходов m = 0, и мы имеем

2. Вероятность достоверного события равна единице. В самом деле, если событие А достоверно, то, очевидно, т= п и, следовательно,

Приведем некоторые элементарные теоремы о вероят­ностях.

Определение 2. Два события А и В называются эквивалентными: если каждое из них происходит всякий раз, когда проис­ходит другое.

С точки зрения теории вероятностей такие события считаются равными.

Например, если в урне содержатся только белые и черные шары, то появление черного шара и появление небелого шара есть события эквивалентные.

Теорема 1. Эквивалентные события имеют одина­ковые вероятности, т. е. если А= В, то

Р(А) = Р(В).(4)

Действительно, каждый элементарный исход для собы­тия А является таковым же для события В и обратно. В силу формулы (2) справедливо равенство (4).

Определение 3. Говорят, что из события А сле­дует событие В (А=>В), если событие В появляется всякий раз, как только произошло событие А.

Например, для любых событий А и В имеем АВ=>А и АВ=>В.

Теорема 2. Если А =>В, то (5)

В самом деле, пусть события А и В включены в общую систему равновероятных элементарных исходов, причем т и т' — число благоприятных элементарных исходов соответственно для событий А и В, а п—общее число элементарных исходов. Так как каждый элементарный исход для события А является также элементарным исхо­дом для события В, то m' и, следовательно, и таким образом, неравенство (5) доказано.

Определение 4. Событие , происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А, назы­вается противоположным последнему.

Например, если при бросании монеты событие А есть выпадение герба, то событие представляет собой невы­падение герба, т. е. выпадение решетки.

Из определения 4 следует, что 1) событие А+ досто­верно; 2) событие А невозможно.

Теорема 3. Вероятность противоположного собы­тия равна дополнению вероятности данного события А до 1, т. е. (6)

Действительно, пусть полная система равновозможных элементарных исходов содержит п событий, из которых т ( ) благоприятны событию А. Тогда п — т элементар­ных исходов неблагоприятны событию А, т.е. благопри­ятствуют событию . Таким образом, имеем

Приведем ряд примеров на непосредственное вычисление веро­ятностей событий.

Пример 1. Монета бросается два раза. Какова вероятность: 1) выпадения герба хотя бы один раз (событие А); 2) двукратного выпадения герба (событие B)?

Равновозможными элементарными исходами здесь являются: ГГ, ГР, РГ, РР; число их n = 4.

Событию А благоприятствуют исходы ГГ, ГР, РГ, число кото­рых m = 3. Следовательно,

Событию В благоприятствует один исход ГГ (m' = 1). Поэтому

Пример 2. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6 (событие A)?

Равновозможными элементарными исходами здесь являются пары (х, у), где х и у принимают значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6; общее число элементарных исходов n = 36.

Событию А благоприятствуют пары (1, 5), (2, 4), (3, 3) (4, 2), (5, 1), число которых m = 5.

Следовательно,