- •I. Основы проверки гипотез: критерии одиночной выборки
- •1.1. Нулевая и альтернативная гипотеза
- •1.2. Области отклонения и принятия гипотез. Критическое значение тестовой статистики
- •Область отклонения гипотезы
- •Область отклонения гипотезы
- •Область принятия гипотезы
- •1.3. Риски, возникающие при проверке гипотез
- •1.4. Риски, возникающие при принятии решений
- •Проверка гипотез и принятие решения
- •1.5. Использование z-критерия для проверки гипотезы о математическом ожидании при известном стандартном отклонении
- •Область принятия гипотезы
- •1.6. Односторонние критерии
- •1.7. Использование t-критерия для проверки гипотезы о математическом ожидании при неизвестном стандартном отклонении
- •1.8. Применение z-критерия для проверки гипотезы о доле признака в генеральной совокупности
- •II. Проверка гипотез для оценки свойств двух генеральных совокупностей
- •2,1. Использование z-критерия6 для оценки разности между двумя математическими ожиданиями
- •2.2. Применение t-критерия7 для оценки разности между математическими ожиданиями с помощью суммарной дисперсии
- •2.3. Использование t-критерия для оценки разности между двумя математическими ожиданиями с помощью раздельной дисперсии
- •III. Критерии оценки свойств двух зависимых генеральных совокупностей
- •3. 1. Критерии для оценки разности между двумя математическими ожиданиями
- •Измерения результатов тестирования
- •3.2. Использование z-критерия для оценки разности между двумя долями признака
- •IV. Вопросы и задачи проверки знаний
- •4.1. Общие вопросы проверки знаний
- •4.2. Задачи проверки знаний по материалу учебного модуля «Основы проверки гипотез»
I. Основы проверки гипотез: критерии одиночной выборки
1.1. Нулевая и альтернативная гипотеза
Статистическая гипотеза - это предположение о форме или параметрах закона распределения одной или нескольких случайных величин1. Статистическая гипотеза - это один из научных подходов к изучению свойств генеральных совокупностей по результатам выборочных исследований. Статистическая гипотеза может относиться к свершенным результатам или предсказывать предстоящие возможные последствия динамически развивающихся процессов.
Гипотезы, относящиеся к виду или форме анализируемых распределений случайных величин, называются непараметрическими гипотезами, а относящиеся к параметрам — параметрическими гипотезами. Статистические гипотезы делятся на простые и сложные. Гипотеза называется простой, если она определяет только закон распределения случайной величины; в противном случае гипотеза является сложной. Обычно гипотеза, имеющая особенно важное значение, называется нулевой гипотезой – (Н0 - гипотеза). В простейшем случае нулевая гипотеза состоит в предположении, что анализируемые выборки представляют одно распределение, но она может базироваться и на более сложных предположениях. Для проверки статистических гипотез существуют критерии (правила), на основе которых гипотезы принимаются или отвергаются. Поэтому важно установить, в чем именно заключается нулевая гипотеза и выработать методы оценки реализуемости нулевой гипотезы. Однако следует иметь в виду, что никакие экспериментальные данные не могут ни полностью подтвердить, ни полностью опровергнуть выдвинутую статистическую гипотезу. Всегда остается какая-то доля риска сделать неверное заключение. В этом состоит принципиальное отличие статистических гипотез от научных, которые в процессе познания окружающего нас мира получают достоверное подтверждение или полностью отвергаются. Факт принятия гипотезы - это результат анализа и заключения о том, что принимаемая гипотеза не находится в явном противоречии с имеющимися статистическими данными.
Таким образом, при принятии или отклонении нулевой гипотезы всегда существует некоторая вероятность ошибочных решений. В математической статистике часто используется такое понятие как уровень значимости, представляющее собой число a > 0, которое равно вероятности ошибочно отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна2. Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность отвергнуть верную гипотезу, но с уменьшением уровня значимости a возрастает число испытаний, необходимое для проверки Н0 - гипотезы. Поэтому в зависимости от важности решаемой задачи и сложности получения статистического материала на практике используют различные уровни значимости, среди которых широкое применение имеют 5%-ный уровень значимости (a = 0,05) и 1%-ный уровень значимости (a = 0,01). Величина подобных уровней, в частности, означает, что если, например, проводится 100 испытаний, то количество статистик, в которых нулевая гипотеза не выполняется менее 5 или 1 - соответственно.
Свойства нулевой и альтернативной гипотезы
• Нулевая гипотеза всегда содержит утверждение о равенстве параметра генеральной совокупности заранее заданному значению (например, Н0: μ = 100).
• Альтернативная гипотеза Н1 является отрицанием нулевой гипотезы и представляет собой исследовательское предположение или особое умозаключение, которое требуется доказать.
• Если нулевая гипотеза отвергается, альтернативная гипотеза считается истинной.
• Если нулевая гипотеза не отвергается, альтернативная гипотеза считается недоказанной. Однако недоказанность альтернативной гипотезы не означает, что нулевая гипотеза является истинной.
• Нулевая гипотеза Н0 всегда формулируется относительно конкретного значения параметра генеральной совокупности (например, математического ожидания μ), а не выборочной статистики (например, выборочного среднего).