Расчетная таблица для определения коэффициента конкордации

Поряд- ковый номер семьи	Годовой доход семьи, тыс. руб. x1	Число детей в семье x2	Сбере- жения за год, тыс. руб. x3	Ранги каждого фактора			Сумма рангов	Квадрат суммы рангов	Квадрат отклонении суммы рангов от их средней величины
1	30	2	2,5	1	2	1	4	16	12,25
2	35	1	3,1	2	1	2	5	25	6,25
3	38	3	4,2	3	3	4	10	100	6,25
4	40	4	3,6	4	4	3	11	121	12,25
Σ							30	262	S= 37

Второй способ. Разделив итог графы 7 на n, найдем среднюю величину суммы рангов. Обозначив ее через Т, получим

Затем определим S как сумму квадратов отклонений суммы ран­гов каждой строки от их средней величины:

Этот расчет приведен в графе 10. Ее итог и есть искомая сумма S. Откуда коэффициент конкордации:

Коэффициент конкордации W может принимать значения от 0 до 1. Полученное значение W = 0,82 позволяет сделать вывод о сильной зависимости между тремя рассмотренными показателями.

Изучение связи между качественными признаками на основе таблиц сопряженности

Построение таблиц, в которых дается комбинационное распре­деление единиц совокупности по двум признакам, применимо не только к количественным, но и к неколичественным, т.е. качест­венным, или атрибутивным, признакам (пол, образование, семей­ное положение, профессия, форма собственности, вид заболева­ний, вид преступлений и т.п.).

Качественные признаки, взаимосвязи между ними, их влияние на другие показатели (в том числе и количественные) особенно часто приходится изучать при проведении различных социологи­ческих исследований путем опроса или анкетирования.

В таких случаях о зависимости ответов на те или иные вопросы от других признаков единиц наблюдения судят, исходя из комби­национного распределения единиц совокупности по двум атрибу­тивным признакам (или одному атрибутивному, а другому — коли­чественному), т.е. анализируя таблицы взаимной сопряженности. Последние могут иметь разную размерность.

Простейшая форма таблицы взаимной сопряженности — таб­лица «четырех полей». В ней по каждому при­знаку выделяется только две группы, чаще всего по альтернативно­му принципу («да» — «нет», «хорошо» — «плохо» и т.д.). Пример такой таблицы приведен ниже. В ней указаны условные данные о распределении 500 опрошенных человек по двум показа­телям: наличие (отсутствие) у них прививки против гриппа и факт заболевания (не заболевания) гриппом во время его эпидемии.

Таблица

Таблица «четырех полей»

Группа лиц	Число лиц
	заболевших гриппом	не заболевших гриппом	Итого
Сделавших прививку	30 (a)	270 (b)	300
Не сделавших прививку	120 (с)	80 (d)	200
Итого	150	350	500

Применительно к таблице «четырех полей», частоты которых можно обозначить через а, Ь, с, d, коэффициент ассоциации выра­жается формулой

Для распределения, при­веденного выше, имеем:

Задача

Для четырех пар значений (x _i y_i), приведенных в табл., определите линейные коэффициенты корреляции Пирсона: r₁, r₂, r₃, r₄.

x 1	y1	x 2	y2	x 3	y3	x 4	y4
21	1	1	100	1	100	145	59
26	2	2	80	2	80	46	62
17	3	3	85	3	95	17	64
54	4	4	74	4	74	754	64
61	5	5	71	5	91	10	67
53	6	6	36	6	36	10	69
77	7	7	47	7	87	1007	75
97	8	8	31	8	31	97	77
128	9	9	40	9	90	128	78
110	10	10	29	10	29	11	85

Ответ. r₁ = 0,947; r₂ = - 0,937; r₃ = -0,591; r₄ = 0,01.

Задачи

Задача 1. В урне 30 шаров: 20 белых и 10 черных. Вы­нули подряд четыре шара, причем каждый вынутый шар возвращается в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешиваются. Какова вероятность того, что среди вынутых 4 шаров будет 2 белых?

Решение. Вероятность извлечения белого шара p = 20/30 = 2/3

можно считать одной и той же во всех четы­рех испытаниях; q = 1 - p = 1/3. Применив предыдущую формулу, получаем

Задача 2. Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях собы­тие А появится не больше трех раз?

Решение. Здесь p = 0,4, q = 0,6.

Найдем вероятности появления события А:

0 раз - Р_0,10 = q¹⁰;

1 раз - Р_1,10 = 10рq⁹;

2 раза - Р_2,10 = 45р²q⁸;

З раза – Р_3,10 = 120р³q⁷.

Вероятность того, что событие А появится не больше З раз, определится равенством Р = Р_0,10 + Р_1,10 + Р_2,10 + Р_3,10.

т. е.

Р = 0,6⁷ • (0,216 + 1,44 + 4,32 + 7,68), Р ~ 0,38.

Задача 3. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки будем счи­тать одинаковыми.

Решение. Вероятность рождения девочки р = 0,5, тогда q =1 - р = 0,5 (вероятность рождения мальчика). Решение находим по формуле

Условная вероятность события H_i в предположении, что событие А имеет место, определяется по так назы­ваемой формуле Бейеса:

Вероятности Р(H_i/А), вычисленные по формуле Бей­еса, часто называют вероятностями гипотез.

Задача 4. Имеется 4 урны. В первой урне 1 белый и 1 черный шары. Во второй урне 2 белых и 3 черных шара. В третьей урне 3 белых и 5 черных шаров, В четвертой урне 4 белых и 7 черных шаров. Событие H_i —выбор i-й урны (i = l, 2, 3, 4). Дано, что вероятность выбора i-й урны равна , т. е. Р(H₁) = 0,1; Р(H₂) = 0,2; Р(H₃) = 0,3; Р(H₄) = 0,4.

Выбирается наугад одна из урн и вынимается из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Из условия следует, что Р(А/Н₁) = 0,5 (условная вероятность извлечения белого шара из пер­вой урны).

Р(А/Н₂) = 2/5; Р(А/Н₃) = 3/8; Р(А/Н₄) = 4/11.

Вероятность извлечения белого шара, находим по фор­муле полной вероятности:

Р(А) = Р (Н₁)•Р(А/Н₁) + Р(H₂)• Р(А/Н₂) + Р(H₃)•Р(А/Н₃) + Р(H₄)•Р(А/Н₄) =

= 1707/4400.

Задача 5. Имеются три одинаковых по виду ящика. В пер­вом ящике 20 белых шаров. Во втором ящике 10 белых и 10 черных шаров. В третьем ящике 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар.

Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

Решение.

Гипотеза H₁ - выбор первого ящика;

Гипотеза H₂ - выбор второго ящика;

Гипотеза H₃ - выбор третьего ящика;

событие А - появление белого шара.

Р(H₁) = Р(H₂) = Р(H₃) = 1/3 (выбор любого из ящиков равновозможен);

Р(А / H₁) = 1 (вероятность извлечения бе­лого шара из первого ящика);

Р(А/H₂)= 10/20 = 1/2 - (вероятность извлечения белого шара из второго ящика);

Р(А/H₃) = 0 (вероятность извлечения белого шара из третьего ящика).

Искомую вероятность Р(H₁/А) находим по формуле Бейеса:

Задача 6. Дан ряд распределения случайной величины X: X 10 20 30 40 50 р 0,2 0,3 0,35 0,1 0,05

Построить функцию распределения вероятности этой слу­чайной величины.

Решение.

Если х £ 10, то F(x) = P(Х<х) = 0;

если 10 < х < 20, то F(x) = P (Х<х) = 0,2;

если 20 < х <30, то F(х) = P(X<х) = 0,2 + 0,3 = 0,5;

если 30 < х < 40, то F (х) = Р (X < х) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85;

если 40 < х < 50, то F (х) = Р (X < х) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1= 0,95;

если х > 50, то F(х) = Р(Х< х) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05=1.

15