Нормальный закон распределения и функция Лапласа Нормальный закон распределения характеризуется плотностью

Задача 1. Определите математическое ожидание случай­ной величины с равномерным распределением.

Решение.

как это и должно быть в силу симметрии распределения.

Задача 2.

Вычислите дисперсию и среднее квадратичное отклонение для случайной величины с равномерным рас­пределением.

Решение.

Для практического вычисления дисперсии удобно использовать формулу:

D(X) = M(X²) - M²(X).

Действительно,

D(X) = M(X - m)² = M(X² - 2mX + m²) =

M(X²) - 2mM(X) + m² = M(X²) - 2 m² + m² = M(X²) - m².

Отсюда

Следовательно,

Корреляционный анализ

Корреляция — математическое понятие, указывающее на статистическую связь, существующую между изучаемыми явлениями (признаками). Изучение зависимости вариации признака от окружающих условий составляет содержание теории корреляции.

К простейшим показателям степени тесноты связи относят ко­эффициент корреляции знаков, который был предложен немецким ученым Г. Фехнером. Этот показатель основан на оцен­ке степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от соот­ветствующих средних. Для его расчета вычисляют средние значения результативного и факторного признаков, а затем устанавливают знаки отклонений для всех значений взаимосвязанных пар признаков.

Формула коэффициента Фехнера выглядит так:

Основные показатели деятельности предприятий (данные условные)

Завод	Основные производственные фонды, млн. руб. xi	Валовой выпуск продукции, млн. руб. yi	Знаки отклонений от средней величины
1	12	28	—	—
2	16	40	—	—
3	25	38	—	—
4	38	65	—	—
5	43	80	—	—
6	55	101	+	+
7	60	95	+	—
8	80	125	+	+
9	91	183	+	+
10	100	245	+	+
∑	520	1000

Более совершенным показателем степени тесноты связи является линейный коэффициент корреляции (r), который был предложен английским ученым К. Пирсоном:

Линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от —1 до +1. Чем ближе коэффициент корреля­ции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между призна­ками.

Выполнив несложные пре­образования, можно получить следующую формулу для расчета линейного коэффициента корреляции:

Расчетная таблица для определения линейного коэффициента корреляции

№ п/п	Часовая оплата труда, руб. x	Уровень текучести кадров, % y	x2	х	у2
1	3	34	9	102	1156
2	4	35	16	140	1225
3	5	33	25	165	1089
4	6	28	36	168	784
5	7	20	49	140	400
6	8	24	64	192	576
7	9	15	81	135	225
8	10	11	100	110	121
Σ	52	200	380	1152	5576
Средняя величина	6,5	25	47,5	144	697
	( )	( )	( 2)	( )	( )

Найдем:

= 2,29;

Линейный коэффициент корреляции

2-ой вариант вычислений линейного коэффициента корреляции

№ п/п	x	y	x -	y-	(х - х)(у - )	(х - )2	(у - )2
1	3	34	-3,5	9	-31,5	12,25	81
2	4	35	-2,5	10	-25,0	6,25	100
3	5	33	-1,5	8	-12,0	2,25	64
4	6	28	-0,5	3	-1,5	0,25	9
5	7	20	0,5	-5	-2,5	0,25	25
6	8	24	1,5	-1	-1,5	2,25	1
7	9	15	2,5	-10	-25,0	6,25	100
8	10	11	3,5	-14	-49,0	12,25	196
∑	52	200	0	0	-148,0	42,00	576

Отсюда

Показатели, используемые для измерения степени связи между качественными признаками

Коэффициенты корреляции, основанные на использовании рангов, были предложены К. Спирмэном и М. Кендэлом.

Ранг — это порядковый номер, присваиваемый каждому инди­видуальному значению х и у (отдельно) в ранжированном ряду. Оба признака необходимо ранжировать (нумеровать) в одном и том же порядке: от меньших значений к большим или наоборот. Чаще нуме­рация (присвоение ранга) от 1 до п идет по возрастанию значений признака. Если встречается несколько одинаковых значений х (или у), то каждому из них присваивается ранг, равный частному от деления суммы рангов (мест в ряду), приходящихся на эти зна­чения, на число равных значений.

Коэффи­циент корреляции рангов Спирмэна основан на рассмотрении суммарной разности рангов фак­торного и результативного признаков.

Обозначим разность между соответствующими рангами через d_i. Тогда формула коэффициента корреляции рангов Спирмэна имеет следующий вид:

Расчетная таблица для определения коэффициента корреляции рангов Спирмэна

x	y	Ранги		Разность рангов d = Nx - Ny	d2
		Nx	Ny
3	34	1	7	-6	36
4	35	2	8	-6	36
5	33	3	6	-3	9
6	28	4	5	-1	1
7	20	5	3	2	4
8	24	6	4	2	4
9	15	7	2	5	25
10	11	8	1	7	49
n = 8					Σd2 = 164

Подставим в вышеприведенную формулу рассчитанные значения Σd²= 164 и n = 8, получим:

Коэффициент конкордации

Если число ранжируемых признаков (факторов) больше двух, то для измерения тесноты связи между ними можно использовать предложенный М. Кендэлом и Б. Смитом коэффициент конкорда­ции (множественный коэффициент ранговой корреляции)

где S — сумма квадратов отклонений суммы m рангов от их сред­ней величины;

m — число ранжируемых признаков;

n — число ранжируемых единиц (число наблюдений).

Рассмотрим расчет коэффициента конкордации для случая, когда по каждому признаку ранги не повторяются.

Пример. Предположим, по четырем опрошенным семьям полу­чены данные о их годовом доходе, числе детей и сбережениях за год (см. графы 2-4 табл.). В этой же таблице приведены расчеты всех необходимых показателей. В рассматриваемом приме­ре m = 3, а n = 4.

Обозначив через ранг i-го фактора (признака) у j-й единицы, ранжируем каждый из трех факторов (графы 5—7), а затем найдем сумму рангов по каждой строке и итог по графе 8.

Расчет S можно выполнить двояко: используя итоги граф 8 и 9 или 8 и 10.

Таблица