5.3. Середня гармонічна, геометрична і квадратична

У статистичній практиці часто зустрічаються випадки, коли середню потрібно обчислювати за формулою середньої гармонічної. Це відбувається тоді, коли підсумовуванню підлягають не самі варіанти, а обернені їм числа. В цьому випадку, для знаходження середнього значення варіаційної ознаки, застосовують формулу середньої гармонічної простої, яка має вид:

де п – число індивідуальних значень ознак;

– сума обернених значень ознак.

Середню гармонічну зважену застосовують у тих випадках, коли є дані про індивідуальні значення ознаки в загальній сукупності і загальний обсяг сукупності, але в готовому виді немає частот.

де – сума добутку обернених ознак і частот, тобто x×f = M, звідси

Розглянемо приклад. Маємо дані про заробітну плату працівників підприємства в розрізі цехів і фонд заробітної плати.

Таблиця 5.4 – Заробітна плата працівників

Номер цеху	Середня заробітна плата одного працівника, грн. (х)	Фонд заробітної плати, грн. (M)
1 2 3	2900 3200 3500	174 000 160 000 140 000

Підставивши у формулу середньої гармонічної зваженої дані з нашого прикладу, отримаємо середню заробітну плату одного працівника по підприємству в цілому.

грн.

У тому випадку, коли усереднюються величини, представлені у виді відносних змін, застосовується середня геометрична. Загальний обсяг ознаки за цих умов визначається як добуток усереднених значень.

Формула середньої геометричної наступна:

проста; зважена ,

де п – число значень ознаки, а підкореневим виразом – добуток цих значень.

Якщо усереднена ознака представлена у виді квадратних функцій, то для знаходження середнього значення ознаки застосовується середня квадратична. Вона має наступний вид:

– проста; – зважена .

За нею розраховується, наприклад, середній метраж кімнат, середній діаметр труб, стовбурів дерев і т.п.

5.4. Структурні середні

Для статистичної характеристики варіаційних рядів обчислюють структурні (порядкові) середні, до яких відносять моду і медіану.

Для розглянутих вище середніх необхідно використовувати всі наявні значення ознаки. Мода і медіана визначаються лише структурою розподілу. Тому їх іменують структурними позиційними середніми.

Модою називається величина ознаки (варіанта), яка найчастіше зустрічається в даній сукупності.

Знаходження моди в дискретному варіаційному ряду не є складною. Розглянемо приклад.

Таблиця 5.5 – Розподіл студентів за їх ростом

Ріст студентів, см	165	167	170	173	176	178	180	182	185	187	189	191	195
Число студентів, чол.	8	13	24	30	38	47	55	31	16	9	7	3	2

Очевидно, в цьому прикладі модою буде студент, який має ріст 180 см, тому що цьому значенню ознаки (варіанті) відповідає найбільше число студентів (55 чол.).

Медіана – це варіанта, яка займає середнє положення в упорядкованому варіаційному ряду і поділяє його на дві рівні частини.

Щоб знайти медіану в дискретному варіаційному ряду, потрібно спочатку розташувати всі варіанти в зростаючому або спадаючому порядку. Потім визначити номер медіани, який вкаже на її розташування в упорядкованому ряді за формулою:

де М_е – медіана; п – число варіант.

Розглянемо приклад.

Таблиця 5.6 – Розподіл дев’яти деталей за їх масою

Номер деталі	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Маса, г	2,6	3,4	3,3	2,7	3,0	2,9	2,8	3,1	3,2

Перегрупуємо деталі за їх масою в зростаючому порядку.

Таблиця 5.7 – Упорядкований розподіл дев’яти деталей за їх масою

Номер деталі	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Маса, г	2,6	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4

Визначаємо номер медіани:

Тобто під п’ятим номером від початку або від кінця ряду маса деталі буде медіаною. М_е = 3,0 г.

Коли варіаційний ряд має парну кількість членів, тоді медіана буде розраховуватись як півсума двох варіантів, які займають середнє положення в упорядкованому ряду. Припустимо, що є ще десята деталь з масою 3,5 г. Номер медіани буде дорівнювати У даному випадку медіана буде розташована між п’ятим і шостим порядковим номером деталей.

Моду і медіану із інтервальних рядів визначають розрахунковим шляхом за наступними формулами:

де М_о – мода;

– нижня межа модального інтервалу;

h – розмір модального інтервалу;

– модальна частота;

– передмодальна частота;

– післямодальна частота.

де М_е – медіана;

– нижня межа медіанного інтервалу;

h – розмір медіанного інтервалу;

– сума частот;

– сума нагромаджених частот до медіанного інтервалу;

– частота медіанного інтервалу.

Покажемо обчислення моди і медіани для інтервального варіаційного ряду на прикладі.

Таблиця 5.8 – Розподіл 500 працівників за заробітною платою

Заробітна плата, грн.	Число працівників, чол.	Накопичені частоти
1500–1600 1600–1700 1700–1800 1800–1900 1900–2000 2000–2100 2100–2200 2200–2300 2300–2400	5 10 61 105 130 109 62 11 7	5 15 76 181 311 420 482 493 500
Разом:	500	×

У даному прикладі мода знаходиться в інтервалі від 1900 до 2000 грн., тому, що йому відповідає найбільша частота (130 чол.). Цей інтервал називається модальним.

грн.

Цей показник означає, що найбільше працівників було із заробітною платою 1954,3 грн.

Щоб визначити медіану інтервального варіаційного ряду спочатку, за допомогою нагромаджених частот, потрібно знайти інтервал, що містить медіану. Медіанному інтервалу відповідає перша з нагромаджених частот, яка перевищує півсуму частот усього обсягу сукупності Отже, медіана знаходиться в інтервалі від 1900 до 2000 грн.

грн.

Це означає, що половинна працівників отримує заробітну плату меншу 1953,1 грн., а друга половина – більшу.

Мода, медіана відносяться до так званих порядкових статистик, під якими розуміють варіанти, які займають певне порядкове місце в упорядкованому варіаційному ряду.

Їх використання в статистичному аналізі варіаційних рядів дозволяє більш глибоко дослідити і детальніше охарактеризувати сукупність, яка вивчається.