Завдання для самостійної роботи

Для заданих матриць і стаціонарної системи керування підібрати такий обернений зв’язок , щоб матриця одержаної замкненої системи мала власними числами , значення яких вводяться в інтерактивному режимі. Проведення відповідних розрахунків можна виконувати засобами стандартних пакетів Maple, Mathcad чи Matlab.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

Лабораторна робота №4 Керування дискретними лінійними системами

Література: [3, c.108-112].

Мета роботи: Застосувати теоретичні критерії дослідження керовності дискретних лінійних систем до розробки алгоритмів розрахунку управління для переведення їх у наперед заданий стан.

Зміст роботи: Дослідити, чи є цілком керовною задана дискретна лінійна система керування. Розрахувати управління для її переведення у наперед заданий стан, використовуючи програмні засоби одного з пакетів Maple, Mathcad чи Matlab.

Методичні вказівки

Розглянемо дискретну лінійну систему керування вигляду

, (4.1)

де — -вимірний вектор стану системи в точці , — вектор керування в точці , і - деякі матриці, елементи яких залежать від дискретного аргументу у випадку нестаціонарної системи і не залежать від у випадку стаціонарної системи.

Теорема. Для того, щоб лінійна дискретна система (4.1) була цілком керовною на проміжку від до , необхідно і досить, щоб виконувалась умова:

(4.2)

.

При цьому керування, яке переводить систему із стану в стан знаходиться як розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь

(4.3)

.

У випадку стаціонарних дискретних систем керування умова керовності набуде вигляду

(4.4)

Якщо матриця у стаціонарній системі складається з одного стовпця, то умова (4.3) зводиться до нерівності

.

При цьому система (4.3) запишеться так:

.

Завдання для самостійної роботи

Для заданих матриць і дискретної стаціонарної лінійної системи керування обчислити керування, яке за п’ять кроків переводить систему із стану з усіма нульовими компонентами у стан з усіма одиничними компонентами. Для проведення відповідних розрахунків можна використати один із пакетів Maple, Mathcad чи Matlab.

Варіанти матриць і ті ж самі, що й у попередній роботі.

Лабораторна робота №5 Оптимальне керування. Принцип максимуму Понтрягіна

Література: [5, с. 421-489], [6, с. 13-85].

Мета роботи: Навчитися застосовувати принцип максимуму Понтрягіна до знаходження оптимального керування динамічними системами.

Зміст роботи: Розв’язати запропоновану задачу пошуку оптимального керування, використовуючи принцип максимуму Понтрягіна. Скласти програму для графічного відображення поведінки системи під дією розрахованого керування однією з алгоритмічних мов.

Методичні вказівки

Основна задача. Нехай задана динамічна система

(5.1)

. . . . . . . . . . . . . . . . .

або у векторній формі , з початковою умовою і областю допустимих керувань . Тут – -вимірний вектор, який називають фазовим, а його компоненти – фазовими координатами об’єкта, функції мають частинні похідні ( і неперервні разом з цими похідними за сукупністю своїх аргументів. Шукається таке допустиме керування і відповідна траекторія системи (5.1), щоб для фіксованого скінченного моменту часу вираз

, (5.2)

де - задані сталі, був мінімальним.

Нехай – вектор-функція з компонентами , яка є розв’язком задачі

, , , (5.3)

або у векторній формі , , де

, , .

Система (5.3) називається приєднаною до системи (5.1).

Функція Гамільтона задач (5.1),(5.2) має вигляд

.

Тоді динамічна і приєднана системи можуть бути записані через канонічні рівняння

, , .

Теорема. Нехай – розв’язок задачі (5.1),(5.3). Тоді існує функція , яка є розв’язком приєднаної системи (5.3) з відповідною граничною умовою і така, що майже для всіх виконується умова

.

Якщо необхідно мінімізувати двічі диференційовну за всіма аргументами функцію , то в принципі максимуму Понтрягіна початкові умови для приєднаної системи треба замінити на .

Якщо ставиться задача мінімізації функціоналу , де функція задовольняє ті ж умови, що й , то функція Гамільтона визначається формулою , а приєднана система має вигляд

, , . (5.4)

Приклад 5.1. , , , , , .

Розв’язання. , , , , , тобто . Звідси . Максимум досягається при .

Умови трансверсальності. Часто у задачі (5.1),(5.2) накладаються умови вигляду , , причому вважається, що функції двічі диференційовні по всіх і якобіан має максимальний ранг . Тоді умови , задають у просторі станів деякий гладкий многовид.

Вимагається знайти таке оптимальне керування, яке переводить точку у довільну точку цього многовиду. В цьому випадку кінцеві умови для в принципі максимуму Понтрягіна потрібно замінити умовами трансверсальності

, .

Приклад 5.2. , , , , .

Розв’язання. Маємо , , , , , , , , тобто і . Звідси, максимум функції Гамільтона дає оптимальне керування . Невідомі параметри і потрібно вибрати так, щоб система переводилась у кінцеву точку . Інтегруючи рівняння стану, одержуємо

,

З умов легко записати лінійні рівняння для знаходження і : , , так що оптимальне керування має вигляд .

Аналогічно одержують умови трасверсальності для початкової точки у випадку, коли не задано, а лише вимагається, щоб ця точка задовольняла систему , . Тоді для приєднаної вектор-функції має виконуватись умова , .