Т ема 1. Системы линейных алгебраических уравнений. Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

О пределение. Эквивалентными системами называются 2 системы, если любое решение одной системы является решением другой системы и наоборот.(общее множество решений)

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.

2. Система может иметь бесконечное множество решений.

3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения.

Матрица-размер 3х3 называется прямой таблицей чисел Аi , i=1,2..3 j=1,2,..,n

Определение. Говорят, что на М определена бинарная алгебраическая операция, если всякой упорядоченной паре элементов множества М по некоторому закону ставится в соответствие вполне определенный элемент этого же множества.

Примерами бинарных операций на множестве целых чисел являются сложение и умножение. Однако нашему определению не удовлетворяют, например, множество отрицательных чисел относительно умножения и множество действительных чисел относительно деления из-за невозможности деления на нуль.

Изоморфизмы

1.1Метод исключения неизвестных. Метод исключения Гаусса. Сущность метода исключения Гаусса Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных - метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой и обратный ходы. Группой называется множество G, на котором определена ассоциативная бинарная операция,

содержащее элемент е такой, что для любого элемента a из G выполняется e *а = а* е = а, и существует элемент a-1 такой, что а* a-1 = a-1 а =e. Указанный элемент е называется единицей группы. Элемент a-1 называется обратным к элементу а. Легко показать, что единица группы единственна и что элемент, обратный к данному элементу, также определяется

однозначно. Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной ,

или абелевой. Примерами абелевых групп являются: множества Z целых, Q рациональных,

R действительных и С комплексных чисел с соответствующими операциями сложения; множества Q\{0}, R\{0} и С\{0} отличных от нуля рациональных, действительных и комплексных чисел с соответствующими операциями умножения. В теории групп используется две равноправных и

эквивалентных друг другу терминологических системы: аддитивная и мультипликативная.

Теорема Крамера

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i = D_i/D, где

D = det A,  а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i. Доказательство. Итак,рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнениесистемы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁и 3-е – на A₃₁: Сложим эти уравнения: Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме оразложении определителя по элементам 1-го столбца: Далее рассмотрим коэффициенты при x₂: Аналогично можно показать, что и A₁₁a₁₃+a₁₂a₂₃+a₃₁a₃₃=0 Не сложно заметить: Таким образом, получаем равенство: ДЧx₁=Д₁ Следовательно,x₁=Д₁/Д Таким образом, заметим, что если определитель системы Д≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если жеопределитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множестворешений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Метод Гаусса.

Метод гауса заключается в приведении матрицы коэффициэнтов к еденичному (ступенчатому) виду пудем элементарных преобразований. при этом элементарные преобразования распрастраняются и на столбик свободных элементов.

Теорема. О методе Гаусса.

Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду). Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду. Доказывается очевидно: есть у нас к примеру матрица путем элементарных преобразований: a₁₁  a₁₂  a₁₃)*-(a₂₁/a₁₁)   *-(a₃₁/a₁₁₎  /a₁₁              1        a₁₂ /a₁₁                a₁₃/a₁₁ a₂₁  a₂₂  a₂₃)      ↓                       ↓                 -->      0     a₂₂-(a₂₁/a₁₁)      a₂₃-(a₂₁/a₁₁) a₃₁  a₃₂  a₃₃)                               ↓                            0     a₃₂-(a₃₁/a₁₁)      a₃₃-(a₃₁/a₁₁) И так далее.

Теорема (Лагранжа).

Если m - порядок группы G, а n - порядок элемента g G, то gm = e и m 0 mod n (порядок элемента делит порядок группы). Теорема. Для любой группы G при любом натуральном k порядок t

Элемента а k определяется равенством t = /(k, ) где = ord a. В частности , ord ak = тогда и

только тогда, когда (k,) = 1 (k и – взаимно просты).

Кольцом называется множество R с операциями

сложения и умножения такими, что R является абелевой группой относительно сложения

и умножения ассоциативна и дистрибутивна относительно операции сложения:

(а · b) · с = a · (b · с),

a · (b + c)=a · b + a · c,

(b + c) · a = b · a + c · a.

Следствием определения кольца является свойство -

для любого а а · 0 = 0 · а = 0.

Примерами колец служат множества Z целых, Q рациональных и R действительных чисел с операциями сложения и умножения. Кольцо, в котором из уравнения a Ч b = 0 следует, что а = 0 или b = 0, называется областью целостности . Если в кольце имеется мультипликативная единица, то кольцо называется кольцом с единицей. Полем называется кольцо F с единицей, множество ненулевых элементов которого с операцией

умножения является абелевой группой. Эта группа называется мультипликативной группой

поля. Примерами бесконечных полей являются поля Q рациональных, R действительных и комплексных чисел. Подмножество F поля Q, замкнутое относительно обеих операций и являющееся полем, называется подполем, что обозначается F Q. Поле, которое не имеет подполя, не совпадающего с самим полем, называется простым полем. Существует единственное

простое бесконечное поле.- это поле Q рациональных чисел. Порядком поля называется число

элементов. Конечное поле порядка q обозначается GF(q), или F q . Пример. Простейшим полем является поле из двух элементов – поле GF(2). Операции этого поля определяются таблицами, из которых следует, что сложение соответствует булевой функции сложения по

модулю 2, а умножение – конъюнкции Классы вычетов

Множество всех чисел сравнимых с a по модулю n называется классом вычетов a по модулю n, и обычно обозначается или . Таким образом, сравнение равносильно равенству классов вычетов .

Поскольку сравнение по модулю n является отношением эквивалентности на множестве целых чисел , то классы вычетов по модулю n представляют собой классы эквивалентности; их количество равно n. Множество всех классов вычетов по модулю n обозначается или .

Операции сложения и умножения на индуцируют соответствующие операции на множестве :

Относительно этих операций множество является конечным кольцом, а для простого n — конечным полем.

Н аибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел m и n называется наибольший из их общих делителей.[1] Пример: для чисел 70 и 105 наибольший общий делитель равен 35.Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел m или n не ноль.