Итак, исходя из условия задачи, найдем координаты точки касания м : , получим

.

Найдем : при и

при .

Следовательно, уравнение касательной имеет вид:

.

Угловой коэффициент нормали будет .

Рис. 2

Тогда уравнение нормали, а также .

Построим данные линии (рис. 2).

Задача 5. Решить задачу по образцу задачи 4.

Написать уравнение касательной к кривой в точке . Построить касательную и кривую.

Задача 6. Под каким углом пересекаются кривые: и ?

Решение. Геометрическим образом уравнений и являются параболы. Как видно из рисунка 3 точек пересечения две. Их координаты можно найти из системы уравнений , решая которую, получим . Под углом пересечения двух кривых понимается острый угол, образованный касательными к соответствующим кривым в точке их пересечения.

Острый угол между касательными может быть вычислен по формуле:

, (1)

где и угловые коэффициенты касательных.

1. Найдем угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в т. :

, т.е. .

Рис. 3

2. Найдем угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой :

т.е. .

Подставляя значения в формулу (1), получим:

.

Поскольку обе кривые симметричны оси Оу, то они в точках пересекаются под равными углами.

Задание для самостоятельной работы

Задача 7. Составьте уравнение касательной и нормали к кривой в точке , определите угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ох.

Задача 8. Под каким углом пересекаются кривые ? Сделать чертеж.

Задача 9. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением ( в секундах, в метрах). Определить скорость движения в конце второй секунды.

Задача 10. По параболе движется точка так, что ее абсцисса изменяется в зависимости от времени t по закону ( в секундах, в метрах). Какова скорость изменения ординаты движения в точке ?

Задача 11. Написать уравнение касательных к гиперболе в точках и найти угол между касательными. Построить кривую и касательные.

Задача 12. Найти производные от функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Занятие №2. Производная сложной функции

Цель занятия: усвоить основные формулы таблицы производных на уровне знаний.

Учебные вопросы

1. Производная функции сложного аргумента.

Ход занятия

Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций:

Задача 1. .

Решение. Заданная функция представляет собой многочлен. Применяя формулы (1, 2, 3, 6) из таблицы, найдем :

Задача 2. .

Решение. Обозначим , тогда . Применяя правило дифференцирования сложной функции и формулу , имеем:

Задача 3. .

Решение. Запишем данную функцию в виде . Обозначим: , тогда ,

Задание для самостоятельной работы

Задача 4. .

Задача 5. .

Задача 6. .

Решение. Полагая и применяя формулы (7, 9), будем иметь:

.

Задача 7. .

Задача 8. .

Задача 9. .

Задача 10. .

Задача 11. .