Задание для самостоятельной работы

Найти площади фигур, ограниченных линиями:

Задача 9. .

Задача 10. .

Задача 11. .

Задача 12.

Задача 13.

Задача 14. Первой аркой циклоиды и осью Ох.

Задача 15. .

Задача 16. (одного лепестка).

Задача 17. (улиткой Паскаля).

Занятие №5. Геометрическое приложение определенного интеграла (продолжение)

Цель занятия: закрепить правила вычисления определенных интегралов на уровне знания и умения решать типовые задачи по теме; закрепить применения определенных интегралов к решению прикладных задач геометрии.

Задача 1. Найти длину части кривой от до .

Решение. Воспользуемся формулой (7); :

(ед).

Решить задачу по образцу:

Задача 2. Найти длину дуги кривой , отсеченной прямой .

Задача 3. Найти длину петли при (рис. 17).

Решение. Найдем сначала и :

.

Тогда по формуле (8):

Решить задачу по образцу:

Задача 4. Найти длину дуги, заданной уравнением

Задача 5. Найти длину дуги кривой .

Решение. По условию задачи , найдем, как изменяется угол : , следовательно, . , тогда по формуле (9):

(ед).

Решить задачу по образцу:

Задача 6. Найти длину кардиоиды .

Задача 7. Найти площадь поверхности фигуры при вращении её вокруг оси Ох, оси Оу (рис. 18).

Рис. 18

Решение. Выразим у через х: , тогда . По формуле (10) имеем:

(кв.ед.).

Для нахождения выразим х через у: , тогда .

(кв. ед.).

Решить задачу по образцу:

Задача 8. Дуга параболы вращается вокруг оси Ох. Вычислить площадь поверхности вращения.

Задача 9. Найти площадь поверхности фигуры, заданной параметрически при вращении её вокруг оси Ох.

Решение. Найдем дифференциал дуги , тогда

.

Находим по формуле (11):

(кв. ед.).

Решить задачу по образцу:

Задача 10. Дуга кривой вращается вокруг оси Ох. Найти площадь поверхности вращения.

Задача 11. Найти площадь поверхности фигуры при вращении её вокруг полярной оси.

Решение. Найдем дифференциал дуги, учитывая, что :

.

Найдем по формуле (12):

Решить задачу по образцу:

Задача 12. Лемниската вращается вокруг полярной оси. Найти площадь поверхности вращения.

Задача 13. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций (рис. 19).

Рис. 19

Решение. Построим криволинейную трапецию, найдем точки пересечения графиков функций, для этого решим уравнение:

;

;

.

Тогда по формуле (15):

(куб.ед.).

Решить задачу по образцу:

Задача 14. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси Ох.

Задание для самостоятельной работы

Задача 15. Вычислить длину дуги параболы между точками с абсциссами и .

Задача 16. Вычислить длину дуги кривой от точки с абсциссой до точки с абсциссой .

Задача 17. Найти длину дуги .

Задача 18. Найти длину дуги кривой .

Задача 19. Найти длину дуги кривой .

Задача 20. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси Оу.

Задача 21. Кривая (астроида) вращается вокруг оси Оу. Вычислить площадь поверхности вращения.