1. Площадь плоской фигуры
Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции
,
двумя прямыми
и осью Ох
(рис. 4)
определяется по формуле:
. (1)
Рис. 4
Площадь
фигуры, ограниченной графиком непрерывной
функции
,
двумя прямыми
и осью Ох
(рис. 5)
находится по формуле:
. (2)
Рис. 5
Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции , когда функция меняет знак на отрезке , двумя прямыми и осью Ох (рис. 6) вычисляется с помощью формулы:
, (3)
где с и d – точки пересечения графика функции с осью Ох.
Рис. 6
Площадь
фигуры, ограниченной графиками непрерывных
функций
и
,
где
,
двумя прямыми
и осью Ох
(рис. 7)
определяется по формуле:
. (4)
Рис. 7
2. Площадь
фигуры, ограниченной графиком функции,
заданной параметрически
,
двумя прямыми
и осью Ох
(рис. 8)
находится с помощью формулы:
, (5)
где
,
(обход по часовой стрелке от
до
).
Рис. 8
3. Площадь
фигуры, ограниченной графиком непрерывной
функции
и двумя лучами
,
где
и r
– полярные координаты,
(рис. 9):
. (6)
Рис. 9
2. Длина дуги плоской кривой
Плоская кривая задана уравнением , а и b – абсциссы концов дуги, тогда длина дуги кривой (рис. 10) определяется по формуле:
. (7)
Рис. 10
Плоская кривая задана параметрически
,
тогда длина дуги кривой вычисляется
по формуле:
. (8)
Плоская кривая задана уравнением в полярных координатах
,
тогда длина дуги кривой определяется
формулой:
. (9)
3. Площадь поверхности фигуры вращения
Площадь поверхности, образованная вращением вокруг оси Ох кривой ,
вычисляется по формуле:
. (10)
Площадь поверхности, образованная вращением вокруг оси Ох кривой, заданной параметрически ,
,
находится с помощью формулы:
. (11)
3. Площадь поверхности, образованная вращением вокруг полярной оси кривой, заданной в полярных координатах , определяется формулой:
. (12)
4. Площадь поверхности, образованная вращением вокруг произвольной оси произвольной кривой, вычисляется по формуле:
, (13)
где R – расстояние от точки кривой до оси вращения;
дифференциал
дуги;
А
и В
– пределы интегрирования, соответствующие
концам дуги (
должны быть выражены через переменную
интегрирования).
4. Объем тела
1. Если
площадь
сечения тела плоскостью, перпендикулярной
оси Ох,
является непрерывной функцией на отрезке
,
то объем тела (рис. 11) находится по
формуле:
. (14)
Рис. 11
2. Объем тела вращения криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми и , вокруг оси Ох находится по формуле:
; (15)
вокруг оси Оу:
. (16)
3. Объем
тела вращения криволинейного сектора,
ограниченного кривой, заданной в полярных
координатах
и лучами
и
вокруг полярной оси, вычисляется с
помощью формулы:
. (17)
Задача
1. Найти
площадь фигуры, ограниченной графиком
функции
,
прямыми
и осью Ох
(рис. 12).
Рис. 12
Решение. Воспользуемся формулой (1):
(кв.
ед.).
Задача
2. Найти
площадь фигуры, ограниченной графиком
функции
(рис. 13).
Рис. 13
Решение.
Так как кривая является уравнением
эллипса, симметричным относительно
осей координат, то площадь данной фигуры
можно вычислить в первой четверти по
формуле (1), а результат умножить на 4. Из
уравнения эллипса выразим у
через х,
т.е.
.
Тогда:
(кв.
ед.).
Задача
3. Найти
площадь фигуры, ограниченной графиками
функций
и осью Оу
(рис. 14).
Рис. 14
Решение. Для нахождения площади необходимо определить пределы интегрирования. Для этого найдем точку пересечения графиков функций, приравняв правые части уравнений .
.
Тогда по формуле (4)
(кв. ед.).
Решить задачу по образцу:
Задача
4. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задача
5. Найти
площадь петли, ограниченной графиком
функции, заданной параметрически
(рис. 15).
Рис. 15
Решение.
Воспользуемся симметрией фигуры и
найдем половину искомой площади, умножив
на 2. Так как петля вытянута вдоль оси
Оу,
то воспользуемся формулой
(см. формулу (5)),
.
Решить задачу по образцу:
Задача
6. Найти
площадь фигуры, заданной уравнением
Задача
7. Найти
площадь одного лепестка, где
(рис. 16).
Рис. 16
Решение. Найдем площадь по формуле (6):
(кв.ед.).
Решить задачу по образцу:
Задача 8. Найти площадь, ограниченную кардиоидой:
.