
- •Тема 1. Введение в анализ
- •Краткие сведения из теории
- •Задание для студентов
- •Основные теоремы о пределах
- •1. Раскрытие неопределенности вида
- •2. Раскрытие неопределенности вида
- •3. Вычисление значений сложной функции
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Краткая информация о новых учебных элементах
- •Основные формулы дифференцирования
- •Занятие №1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •Итак, исходя из условия задачи, найдем координаты точки касания м : , получим
- •Задание для самостоятельной работы
- •Занятие №2. Производная сложной функции
- •Ход занятия
- •Задание для самостоятельной работы
- •Разобрать решение задач:
- •Занятие №3. Производная сложной функции (продолжение)
- •Ход занятия
- •Вычисление производной функции в данной точке
- •Задание для самостоятельной работы
- •Занятие №4. Дифференцирование функций
- •Краткая информация о новых учебных элементах
- •Задание для самостоятельной работы Задача 11. Найти от следующих функций:
- •Занятие №5. Дифференциал функции
- •Краткая информация о новых учебных элементах
- •Основные свойства дифференциала
- •Задание для самостоятельной работы
- •Занятие №6. Подготовка к контрольной работе по теме 2
- •Решить самостоятельно:
- •Задание для самостоятельной работы
- •Занятие №7. Вычисление пределов с помощью производной
- •Краткая информация о новых учебных элементах
- •Задание для самостоятельной работы
- •Для решения кубического уравнения
- •Задание для самостоятельной работы
- •Тема 3. Комплексные числа
- •Краткая информация о новых учебных элементах
- •1. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация
- •2. Действия над комплексными числами, заданными алгебраической формой
- •3. Перевод комплексных чисел из алгебраической формы записи в тригонометрическую и показательную и обратно
- •4. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
- •5. Действия над комплексными числами в показательной форме записи
- •Занятие №1. Комплексные числа
- •Задание для самостоятельной работы
- •Занятие №2. Комплексные числа (продолжение)
- •Задание для самостоятельной работы
- •Тема 4. Неопределенный интеграл Введение
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Занятие №1. Непосредственное интегрирование функций
- •Ход занятия Краткая информация о новых учебных элементах
- •Геометрическая иллюстрация неопределенного интеграла
- •Задание для самостоятельной работы
- •Занятие №2. Метод замены переменных
- •Краткая информация о новых учебных элементах
- •Задание для студентов
- •Задание для самостоятельной работы
- •Занятие №3. Метод интегрирования по частям
- •Краткая информация о новых учебных элементах
- •Задание для самостоятельной работы
- •Занятие №4. Метод интегрирования по частям (продолжение)
- •Учебные вопросы
- •Задание для самостоятельной работы
- •Занятие №5. Интегрирование рациональных дробей
- •Краткая информация о новых учебных элементах
- •Задание для самостоятельной работы
- •Занятие №6. Интегрирование рациональных дробей (продолжение)
- •Алгоритм нахождения интеграла методом неопределенных коэффициентов
- •Задача 6. Найти интегралы методом неопределенных коэффициентов:
- •Задание для самостоятельной работы
- •Краткая информация о новых учебных элементах
- •Задание для самостоятельной работы
- •Занятие №9. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Краткая информация о новых учебных элементах
- •Занятие №11. Контрольная работа по теме «Неопределенный интеграл»
- •Образец одного из вариантов
- •Занятие №12. Анализ контрольной работы
- •Задание для самостоятельной работы
- •Тема 5. Определенный интеграл
- •Краткие сведения из теории
- •Основные свойства определенного интеграла
- •1. Несобственные интегралы первого рода
- •2. Несобственные интегралы второго рода
- •Задача 3. Исследовать на сходимость интеграл .
- •1. Площадь плоской фигуры
- •2. Длина дуги плоской кривой
- •3. Площадь поверхности фигуры вращения
- •4. Объем тела
- •Задание для самостоятельной работы
- •Занятие №5. Геометрическое приложение определенного интеграла (продолжение)
- •Задача 11. Найти площадь поверхности фигуры при вращении её вокруг полярной оси.
- •Задание для самостоятельной работы
- •Занятие №6. Механическое приложение определенного интеграла
- •Краткая информация о новых учебных элементах
- •Задача 5. Определить величину давления морской воды на вертикальный круг радиуса м, центр которого погружен в воду на глубину м. Плотность морской воды кг/ .
- •Задача 10. Найти координаты масс однородной дуги окружности радиусом r с центральным углом . Задание для самостоятельной работы
Введение
Предлагаемое пособие охватывает начальный курс математического анализа.
В пособии излагаются определения основных учебных элементов, свойства пределов, производной, интеграла (определенного и неопределенного) функции одной переменной, а также их геометрический и физический смысл. Предполагается, что более глубокое изучение рассматриваемых тем студенты проводят по лекциям и по учебным пособиям самостоятельно.
В пособии разобраны решения большого количества примеров, что позволит студентам самостоятельно провести анализ и выполнение остальных задач.
Данное пособие предназначено для студентов технических специальностей и преподавателей, ведущих практические занятия у студентов технических специальностей.
Тема 1. Введение в анализ
Занятие №1. Пределы
Цель занятия: усвоить учебные элементы на уровне знаний. Закрепить навыки вычисления значения функции в точке, а также навыки вычисления пределов. Учитывая, что учебные элементы этого занятия знакомы студентам из средней школы, уделить особое внимание структуре сложной функции.
Краткие сведения из теории
Определение
1. Функция у
от х,
заданная цепью равенств
,
где
,
называется сложной
или функцией от функции.
Определение
2. Говорят,
что
,
если для любого
такое, что
при
.
Определение
3. Если
,
то функция
называется бесконечно
малой при
.
Заметим, что если
- бесконечно малая, то
- бесконечно
большая
величина.
ТЕОРЕМА 1. (первый замечательный предел):
.
Основные
эквивалентности при
где п и
натуральные;
;
;
;
, где
;
Задание для студентов
Исходя из этих формул, приближенно вычислить:
.
Сравнить полученные значения с табличными данными.
Задание. Даны функции:
.
Вычислить:
;
.
Основные теоремы о пределах
ТЕОРЕМА
2. Если предел
функции существует при
,
то он единственный.
ТЕОРЕМА
3.
.
ТЕОРЕМА
4.
.
Следствие
1.
.
Следствие
2.
.
ТЕОРЕМА
5.
.
1. Раскрытие неопределенности вида
Для решения задач данного типа надо числитель и знаменатель дроби разделить на степень с наибольшим показателем в знаменателе.
Задача
1.
.
Делим
числитель и знаменатель на степень
.
Величины
и
являются бесконечно малыми при
,
поэтому
и
.
Применяя теорему о пределе частного (она применима, так как предел знаменателя равен 1, т.е. отличен от 0), получаем окончательный ответ.
Задача 2. Вычислить:
.
Задача 3. Вычислить:
.
Решить самостоятельно (вычислить пределы):
Задача
4.
.
Задача
5.
.
Задача
6.
.
Задача
7.
.
Задача
8.
.
2. Раскрытие неопределенности вида
Задача
9.
.
Вычислим
корни трехчлена
:
и разложим его на множители по формуле:
;
.
Сократим дробь и вычислим предел, подставляя вместо х число 2.
Задача
10. Решается
аналогично. Вычислить:
.
Задача
11. Вычислить
.
Заменим
,
тогда
и
.
Задача
12.
.
Задача
13.
.
Задача
14.
.
Задача
15.
.
3. Вычисление значений сложной функции
Задача
16.
;
.
Найти
значения этой функции в точках
.
х |
0 |
|
|
|
|
u |
16 |
15 |
12 |
0 |
|
|
4 |
|
|
0 |
|
Задача
17.
.
Ввести промежуточный аргумент, найти
значения этой функции при
;
.
х |
0 |
|
|
|
|
и |
16 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Задача
18.
.
Ввести промежуточный аргумент, вычислить
.
Задача
19. а)
.
Ввести промежуточный аргумент и
и заполнить таблицу:
х |
0 |
|
|
|
и |
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
б)
- условие то же,
.
Задача 20. Составить сложную функцию и найти ее значение в трех заданных точках.
Задание для самостоятельной работы
Найти пределы:
Задача
21.
.
Задача
22.
.
Задача
23.
.
Задача
24.
.
Задача
25.
.
Задача
26.
.
Задача
27.
.
Задача
28.
.
Задача
29.
.
Занятие №2. Второй замечательный предел
Краткая информация о новых учебных элементах
ТЕОРЕМА (второй замечательный предел):
где
,
или
.
Задача
1. Вычислить
.
Решение. Заменим
,
тогда
и
.
Задача
2. Вычислить
.
Решение. Заменим
,
тогда
и
.
Задание для самостоятельной работы
Вычислить пределы:
Задача
3.
.
Задача
4.
.
Задача
5.
.
Задача
6.
.
Задача
7.
.
Занятие №3. Непрерывность функции
Краткая информация о новых учебных элементах
Пусть
функция
определена в некоторой точке
и в некоторой ее окрестности.
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.
.
При нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции.
Задача
1.
.
Функция
называется непрерывной
в интервале
,
если она непрерывна в каждой точке этого
интервала.
Определение 2. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, но не равные между собой; если эти конечные односторонние пределы равны, то точка разрыва первого рода называется точкой устранимого разрыва.
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Задача 2. Исследовать на непрерывность и построить график функции
Решение. Функции
и
непрерывны на всей числовой прямой,
поэтому данная функция может иметь
разрывы только в точках, где меняется
ее аналитическое выражение, т.е. в точках
и
Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции.
Рис. 1
|
В точке имеем:
В
точке
Таким
образом, в этой точке
|
Скачок функции в точке равен
Построим график этой функции (рис. 1).
Установить характер точек разрыва:
Задача
3.
.
Задача
4.
.
Задача
5.
.
Задача
6.
Задача
7. Используя
свойства непрерывных функций, доказать,
что функция
непрерывна на промежутке
.
а)
б)