Диференційне рівняння масовіддачі ( конвективної дифузії)

В основу розгляду явищ конвективної дифузії покладено теорію дифузійного граничного шару. Згідно цієї теорії ( рис.7.11.2), речовина, що розподіляється, переноситься з ядра потоку рідини до границі розподілу фаз безпосередньо потоками рідини і молекулярною дифузією. В системі, що розглядається, потік можна вважати таким, який складається з двох частин: ядра і граничного дифузійного шару. В ядрі переніс речовини здійснюється переважно струменями рідини в умовах турбулентності течії; концентрація речовини, що розподіляється, в даному перерізі в умовах стаціонарного режиму зберігається постійною по мірі наближення до граничного дифузійного шару турбулентний переніс затухає, з приближенням до границі починає переважати переніс за рахунок молекулярної дифузії. Відповідно до цього з'являється градієнт концентрації речовини, що розподіляється, що зростає з приближенням до границі.

При наявності конвективної дифузії концентрація речовини, що розподіляється, в елементарному об'ємі фази (див. рис. 7.11.1) змінюється не лише в наслідок молекулярної дифузії, але також і в результаті механічного переносу його із зони однієї концентрації в другу. В цьому випадку концентрація речовини, що розподіляється, буде функцією не лише координат х, у, z і часу т, але складовою швидкості переміщення елемента ω_х, ω_y, ω_z.

При конвективній дифузії елемент переміщується з однієї точки простору в іншу. В цьому випадку зміна концентрації розподіляючої речовини в елементі може бути виражено за допомогою субстанційної похідної, котра враховує зміну величини з часом і зміни, пов'язані з переміщенням елемента з однієї точки простору в другу:

(7.11.9)

В рівнянні (7.11.9) являє собою локальну зміну концентрації речовини, що розподіляється, а – конвективну зміну концентрації.

Якщо в рівнянні молекулярної дифузії (7.11.7) замінити локальну зміну концентрації

повним , згідно (7.11.9),. то в результаті отримаємо диференційне рівняння конвективної дифузії:

(7.11.10)

Це рівняння є математичним описанням процесу переміщення в рідкій (газовій) фази конвективної дифузії.

Рівняння подібності конвективної дифузії.

Кількість речовини, що розподіляється, яка перемішується з фази в фазу біля границі, можна визначити виходячи з основного закону конвективної дифузії:

dM = β(C₂-C_f )dFdτ

Позначимо (С₂ - С_f ) = ΔС, отримаємо dM = βΔCdFdτ. (7.11.11) Цю ж кількість речовини dM можна знайти і іншим методом. Біля поверхні розподілу фаз речовина переміщується в другу фазу внаслідок молекулярної дифузії. Кількість переданої із фази в фазу речовини dM можна знайти виходячи з основного рівняння молекулярної

дифузії: dM = -D· дС/дх ·dFdτ

Величина dM в останньому рівнянні і рівнянні (7.11.11) є однією і тією ж кількістю речовини, вираженою різними способами, отже

(7.11.12)

Рівняння (7.11.12) характеризує умови на границі фаз, що розглядаються. Для отримання безрозмірних дифузійних чисел подібності перетворимо рівняння (7.11.10) і (7.11.12) методами теорії подібності. З рівняння (7.11.12) діленням обох частин рівняння на праву частину рівняння отримаємо безрозмірний комплекс βΔСдх/DдC.

Викресливши в отриманому комплексі символи диференціювання, різниці і напрямки (заміна х на неорієнтований в певному напрямку лінійний розмір L), після скорочення отримаємо дифузійне число Нусельта

(7.11.13)

З диференційного рівняння конвективної дифузії

Отримаємо безрозмірні комплекси діленням всіх членів рівняння на

Викреслимо в отриманих комплексах символи диференціювання (включаючи і символи порядку диференціювання) і напрямку, після скорочення отримаємо дифузійне число Фур'є

або (7.11.14)

і дифузійне число Пекле

(7.11.15)

Дифузійне число F_oд - характеризує зміну потоку дифундуючої маси з часом. Число Ре_д зазвичай перетворюють і зображують у вигляді добутку двох чисел подібності:

Re - є числом гідродинамічної подібності, а

Рr_д - дифузійне число Прандтля залежить лише від фізичних параметрів і характеризує подібність полів фізичних величин:

(7.11.16)

У випадках, коли масообмін проходить в умовах природної конвекції, яка викликана різницею густин розчинів з різною концентрацією, для характеристики процесу замість числа Re (або додатково до нього) вводять число Грасгофа.

Отримані числа подібності дають можливість знайти рівняння подібності конвективної дифузії:

f(Re, Gr, Nu_д, Рr_д, F_од) =0 (7.1.1.17)

Зі всіх чисел подібності рівняння (7.11.17) лише Nu_д не складається цілком з умов однозначності, тому він є числом, виходячи з цього рівняння (7.11.17) представляють у вигляді:

Nu_д = f(Re,Gr,Pr_д,Fo_д) (7.11.18)

При розгляді стаціонарних процесів масообміну з рівняння подібності випадає число Fo_y, і рівняння набуває вигляду:

Nu_d = f(Re,Gr,Pr_д) (7.11.19)

При вимушеному русі потоком природної конвекції можна знехтувати; тоді з рівняння випадає число Gr:

Nu_д = f(Re,Pr_д); (7.11.20)

Nu_д=АRe^m Prⁿ (7.11.21)

В умовах природної конвекції фази з рівняння випадає число Re: Nu_д = f(Gr,Pr_д); (7.11.22)

Nu_д = AGr^r Pr_дⁿ. (7.11.23)

По знайденим з рівнянь подібності значенням Nu_д легко визначають коефіцієнти масовіддачі

β = Nu_д(D/l), (7.11.24)

а по ним - коефіцієнти масопередачі.

Турбулентна дифузія

Конвективний переніс речовини під дією турбулентних пульсацій називають турбулентною дифузією.

Переніс речовини турбулентною дифузією описується рівнянням

, (7.11.25)

де V- середня пульсуючого швидкість руху частинки рідини в поперечному перерізі;

/ - відстань, на котру переміщуються частинки в поперечному напрямку;

ε_д = Vl - коефіцієнт турбулентної дифузії, що показує яка кількість речовини переноситься за одиницю часу, через одиницю поверхні при концентрації рівній одиниці на довжину один метр і характеризує інтенсивність переміщування при масопередачі.

Вираження коефіцієнту масопередачі через коефіцієнти масовіддачі

Розглянемо процес масопередачі при переході розподіляючої речовини з фази G в фазу L при умові лінійних залежностей між робочими і рівноважними концентраціями. Робоча і рівноважна лінія для такого процесу масопередачі показані на рис.(7.11.3).

Рис.7.11.3. Зміна робочих і рівноважних концентрацій при переході речовини, що розподіляється з однієї фази в іншу.

Кількість речовини, що розподіляється, яка переміщується з фази G до елемента поверхні на межі розподілу фаз, може бути розраховано за рівнянням

dM = β(C_r-C_f )dF Причому в цьому рівнянні можна виразити різницею Y-Y_г

dM = β_y(Y-Y_г )dF,

де β_у - коефіцієнт масопередачі для фази G.

Та ж кількість речовини, що розподіляється, яка переміщується від елемента поверхні на границі розподілу фаз в фазу L, може бути розрахована за рівнянням, якщо рушійну силу виразити різницею Х_д-Х dM = β_x(X_г-X)dF,

де β_х - коефіцієнт масопередачі для фази L.

Оскільки відомо рівноважна залежність (Y_P=A_PX), концентрації X можна виразити через Y:

Концентрації Y_д і Y_Р.д. приймають рівними згідно припущенням про існування на границі рівноваги між фазами.

З урахуванням викладеного рівняння, визначаюче dM, перепишемо в наступному вигляді:

Складемо ліві і праві частини двох останніх рівнянь, отримаємо:

або (7.11.26)

Порівнюючи рівняння (7.11.26) з рівнянням (7.5.1), отримаємо вираз для визначення коефіцієнту масопередачі К_у:

(7.11.27)

Виражаючи концентрації речовини, що розподіляється, через X, аналогічним шляхом отримаємо:

(7.11.28)

Порівнюючи рівняння (7.11.28) і (7.5.3), отримаємо вираз для визначення коефіцієнтів масопередачі К_х:

(7.11.29)

Як видно з рівнянь (7.11.28) і (7.11.29), чисельне значення коефіцієнтів масопередачі визначається величинами коефіцієнтів масовіддачі β_у і β_х і кутом нахилу рівноважної лінії А_р. Величина коефіцієнтів масовіддачі в свою чергу залежить від багатьох факторів.