14. Компоненты графа, связность.

Связность. Две вершины в графе связаны, если существует соединяющая их (простая) цепь. (цепь – в следующем вопросе)

С вязный граф — граф, содержащий ровно одну компоненту связности. Это означает, что между любой парой вершин этого графа существует по крайней мере один путь.

Компонента связности графа — некоторое подмножество вершин графа такое, что для любых двух вершин из этого множества существует путь из одной в другую, и не существует пути из вершины этого множества в вершину не из этого множества.

Компонента сильной связности графа, слой — максимальное множество вершин ориентированного графа такое, что для любых двух вершин из этого множества существует путь как из первой во вторую, так и из второй в первую.

Связными компонентами графа называются подграфы данного графа, вершины которых являются классами эквивалентности отношения связности в данном графе.

15.Маршруты, цепи, циклы. Диаметр, радиус и обхват графа. Пути в орграфах.

Орграф, ориентированный граф G = (V,E) есть пара множеств, где V — множество вершин (узлов), E — множество дуг (ориентированных рёбер). Дуга — это упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга v → w ведет от вершины v к вершине w, при этом вершина w смежная с вершиной v.

Маршрут – чередующаяся последовательность вершин и рёбер (для не орграфов). Если исходная и конечная вершины совпадают, маршрут называется циклическим.

Цепь – маршрут, у которого все рёбра различны.

Цикл – циклический маршрут-цепь.

Простая цепь (цикл) – цепь (цикл) у которого(-ой) все вершины различны.

Длина маршрута – число проходимых рёбер.

Расстояние между 2 вершинами – расстояние кратчайшей простой цепи. [d(v1,v2)]

Диаметр графа –

Обхват графа – длина произвольного кратчайшего простого цикла в графе. [girth(G)]

Для орграфа рассматривают ориентированные маршруты, цепи и циклы, проходящие согласно данной ориентации

Ориентированный цикл в орграфе = контур

Ориентированная цепь в орграфе = путь

В орграфе можно не принимать во внимание ориентацию

Путь в графе G = (V,E) — последовательность вершин при , таких, что две любые последовательные вершины соединены хотя бы одной дугой из E.

Число k вершин в пути называется его длиной. Каждая из пар двух последовательных вершин называется его звеном.

В орграфе зачастую этим термином называют не всякий, а только ориентированный путь, в котором у каждого из звеньев дуга идёт от вершины с меньшим номером к вершине с большим, т.е.:

Путь в орграфе — это последовательность вершин v1, v2, …, vn, для которой существуют дуги v1 → v2, v2 → v3, …, vn-1 → vn. Говорят, что этот путь начинается в вершине v1, проходит через вершины v2, v3, …, vn-1, и заканчивается в вершине vn.

Каждая вершина этого графа имеет чётную степень, поэтому этот граф — эйлеров. Обход рёбер в алфавитном порядке даёт эйлеров цикл.	Граф Кёнигсбергских мостов. Этот граф не является эйлеровым, поэтому решения не существует.

Цепь / цикл, проходящая(-ий) через все рёбра графа (вершины могут повторяться) – эйлерова цепь (цикл)

Граф, имеющий эйлеров цикл – эйлеров граф. (т.е., граф, в котором существует цикл, содержащий все рёбра графа по одному разу (вершины могут повторяться))

16.Цикломатическое число и его свойства.

Определение: Цикломатическим числом графа(G) называется число связных компонент графа(p) плюс число рёбер минус число вершин

Пример: граф представлен множеством несвязных вершин. Тогда =0, =p. =0 - + =0

Свойство1:

Свойство2: - определяет число независимых циклов в графе. При равном нулю, граф не содержит циклов; если же оно равно единице, то граф имеет только один цикл.

Теорема: Цикломатическое число графа совпадает с максимальным числом независимых циклов этого графа. Максимальным числом независимых циклов называется - Базой

Док-во: Начнем с графа представленного изолированными вершинами и добавим по ребру.

Пусть имеется некоторая база …. (*)

Добавим одно ребро => могут появиться новые циклы …

Надо доказать что при добавлении ребра база циклов увеличивается на 1.

Оставшиеся циклы … выражаем через предыдущие:

- m (1)(разность векторов циклов, м - некоторое число)

Тогда вектор (1) выраж. через базу(*). Т.е. максимальное число независимых циклов равно цикломатическому числу.