3.Представление множеств в эвм. Коды Грея. Мультимножества.

Задать представление какого-либо объ­екта (в данном случае множества) — значит описать в терминах используемой системы программирования структуру данных, используемую для хранения ин­формации о представляемом объекте, и алгоритмы над выбранными структура­ми данных, которые реализуют присущие данному объекту операции. Предполагается, что в используемой системе программирования доступны такие общеупотребительные структуры данных, как массивы, структуры (или записи) и указатели. Таким образом, применительно к множествам определение представления подразумевает описание способа хранения информации о принад­лежности элементов множеству и описание алгоритмов для вычисления объеди­нения, пересечения и других введенных операций.

Алгоритм построения бинарного кода Грея

Данный алгоритм генерирует последовательность всех подмножеств п-элементного множества, причем каждое следующее подмножество получается из преды­дущего удалением или добавлением одного элемента.

Вход: п≥0 — мощность множества

Выход: последовательность кодов подмножеств В

i		В
	0	0	0
1	0	0	1
2	0	1	1
3	0	1	0
4	1	1	0
5	1	1	1
6	1	0	1
7	1	0	0

Мультимножества. В множестве все элементы различны, а значит, входят в множество ровно 1 раз. В некоторых случаях оказывается полезным рассматривать совокупности элементов, в которые элементы входят по несколько раз.

Пример В штатном расписании одна и та же должность встречается несколько раз.

Пусть X = {x₁,..., х_п} — некоторое (конечное) множество и пусть а₁...,а_n — неотрицательные целые числа, Тогда мультимножеством (над множеством X) называется совокупность элементов множества X, в которую элемент x_i, входит a_i раз, a_i ≥ 0. Мультимножество обозначается одним из следующих способов:

ЗАМЕЧАНИЕ

Элементы мультимножества, равно как и элементы множества, считаются неупорядочен­ными.

4.Отношения и их основные свойства. Композиция отношений.

Прямым (декартовым) произведением двух множеств X и Y называется множество

,

где упорядоченная пара рассматривается как множество .

Степенью множества X называется множество

,

причем декартово произведение содержит n множителей.

По правилу произведения имеем: .

Бинарное отношение R из множества X в множество Y определяется как подмножество декартового произведения X и Y, т. е. выражением

,

что обычно описывается следующим образом:

.

Если , то говорят, что R есть отношение на множестве X. Для такого отношения вводятся следующие понятия:

обратное отношение: ;

дополнение отношения: ;

тождественное отношение: ;

универсальное отношение: .

В соответствие с определением бинарного отношения n-арное отношение R определяется как множество упорядоченных n-арных наборов (кортежей)

.

Композицией двух отношений и называется отношение , описываемое выражением

.

n-й степенью отношения называется композиция n таких отношений, причем и .

Справедливы следующие простые утверждения:

,

причем второе утверждение является следствием первого.

Отношение называется ядром отношения .

Отношение называется (свойства отношений):

рефлексивным если ;

антирефлексивным, если ;

симметричным, если ;

антисимметричным, если ;

транзитивным, если ;

полным (линейным), если .