33.Важнейшие замкнутые классы. Теорема о полноте. Примеры функционально полных базисов.

1)Обозначим через T₀ класс всех булевых функция f=(x₁,…x_n), сохраняющих константу 0, т.е. функций, для которых выполнено равенство f=(0,…0)=0.

функции 0; x; x1&x2; x1Vх2; х1  х2- принадлежат T0, а 1, - нет.

2) Обозначим через T₁ класс всех булевых функций f =(x₁,…x_n), сохраняющих константу 1, т.е. функций для которых выполнено равенство f=(1,…1)=1.

функции 0; x; x1&x2; x1Vх2; х1  х2- принадлежат T₁, а 1, - нет.

3)Обозначим через S класс всех самодвойственных функций, т.е. функций f из P₂ таких, что . т.е.

самодвойственные функции x и .

4) Класс М функций f=(x₁,…x_n) называется монотонным, если для любых двух наборов , таких что имеет место неравенство

монотонные функции: 0; 1; x; x1&x2; x1Vх2

5) Класс L функций f=(x₁,…x_n) называется линейной, если f_m(x₁, ...,x_n) = a₀a₁x₁ ... a_nx_n, где a_i {0;1}. К классу L принадлежат функции 0, 1, , x~y, xy.

Теорема1 (о функциональной полноте): Для того чтобы система функций  была полной, необходимо и достаточно, чтобы она не содержалась ни в одном из пяти замкнутых классов T_{0 ,} T_1, S, M и L

Следствие1: Всякий замкнутый класс  функций из P₂ , такой, что  P₂ , содержится по крайней мере в одном из построенных классов.

Определение 2. Класс  функций из P₂ , называется предполным (максимальным), если  неполный, а для любой функции f (f P₂ , f ) класс  {f} - полный. Из определения следует что предполный класс явл. замкнутым.

Следствие 2: В алгебре логики существует только пять предполных классов T_{0 ,} T_1, S, M и L.

Теорема3: Из всякой полной в P₂ системы  функций можно выделить полную подсистему, содержащую не более четырех функций.

Следствие 3: Теорема о функциональной полноте позволяет найти для произвольной булевой функции f формулу через функцию полной системы .

Теорема4(Поста): Функциональный базис B является полным тогда и только тогда, когда он целиком не содержится ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1, S, M, L. Иначе говоря, функциональный базис B является полным тогда и только тогда, когда он содержит: хотя бы одну функцию, не принадлежащую классу T0 (T1, S, M, L).

Примеры функционально полных базисов, используя таблицу двух переменных.

1)Базис . Любая функция, не равная тождественно нулю, может быть представлена формулой в СДНФ (следствие из теоремы Шеннона). Константы 0,1 могут быть представлены в виде: . Из базиса можно получить еще два функционально полных базиса:

{ }, так как ; {v, } , так как

Базис функционально полон, поскольку для любой функции может быть построен полином Жегалкина над этим базисом.

2)Поскольку константу 0 можно получить как 0 = 1  1, функционально полным будет также базис {, , 1}. Доказательством этого служит то, что константа 1 не принадлежит классу Т0, тогда как обе функции  и  принадлежат этому классу, что обеспечивает справедливость теоремы о функциональной полноте.

Однако базис { , , 0} уже не будет функционально полным, так как невозможно выразить константу 1 формулой над этим базисом, ибо константа 0 принадлежит классу Т0, как и функции  и .

3)Важными примерами функционально полных базисов являются универсальные базисы {/}, {↓}, содержащие по одной переключательной функции.