32. Полнота и замкнутость
Всякая функция алгебры логики (булева алгебра) может быть выражена в виде формулы через элементарные функции(и отрицание), а также представлена в табличном виде. Рассмотрим некоторые свойства элементарные функций.
Таблица элементарных функций на P2 , т.е. {0,1}.
х |
0 |
0 |
1 |
1 |
Название функции |
Обозначение |
у |
0 |
1 |
0 |
1 |
||
f0(x,y) |
0 |
0 |
0 |
0 |
Константа “0” |
0 |
f1(x,y) |
0 |
0 |
0 |
1 |
Конъюнкция |
x y , xy, x&y |
f2(x,y) |
0 |
0 |
1 |
0 |
Операция запрета по y |
|
f3(x,y) |
0 |
0 |
1 |
1 |
Переменная x |
x |
f4(x,y) |
0 |
1 |
0 |
0 |
Операция запрета по x |
|
f5(x,y) |
0 |
1 |
0 |
1 |
Переменная y |
y |
f6(x,y) |
0 |
1 |
1 |
0 |
Сумма по модулю 2 |
x y |
f7(x,y) |
0 |
1 |
1 |
1 |
Дизъюнкция |
x y |
f8(x,y) |
1 |
0 |
0 |
0 |
Операция Пирса |
xy |
f9(x,y) |
1 |
0 |
0 |
1 |
Равнозначность |
x~y |
f10(x,y) |
1 |
0 |
1 |
0 |
Инверсия y |
|
f11(x,y) |
1 |
0 |
1 |
1 |
Импликация от y к x |
yx |
f12(x,y) |
1 |
1 |
0 |
0 |
Инверсия x |
|
f13(x,y) |
1 |
1 |
0 |
1 |
Импликация от x к y |
xy |
f14(x,y) |
1 |
1 |
1 |
0 |
Операция Шеффера |
x / y |
f15(x,y) |
1 |
1 |
1 |
1 |
Константа “1” |
1 |
Определение1 . Система функций {f1, f2,...}из Р2 называется (функционально) полной, если любая булева функция может быть записана в виде формулы
через функции этой системы.
Рассмотрим примеры полных систем.
1. Система Р2 - множество всех булевых функций — является полной системой.
2. Система = { , x1&x2, x1х2} представляет полную систему.
Не каждая система является полной, например, система = {0, 1) не полная.
Теорема 1. Пусть даны две системы функций из Р2 ={f1, f2,...} и G={g1,g2,...} относительно которых известно, что система полна и каждая ее функция выражается в виде формулы через функции системы G. Тогда система G явл. полной.
На основе теоремы 1 приведем примеры еще полных систем:
={
,
x1&x2} , ={
,
x1 х2} , ={
x / y} ,={
0, 1, х1х2, х1
х2} (доказывается из
осн. свойств булевой алгебры)
Теорема 2. Каждая функция из P2 может быть выражена при помощи полинома по mod 2(полинома Жегалкина).
Таким образом, видно что существует ряд полных систем. Каждая из них может быть принята за множество элементарных функций.
Определение 2. Пусть - некоторое подмножество функций из P2. Замыканием называется множество всех булевых функций, представимых в виде формул через функции множества . Замыкание множества обозначается через []. Замыкание инвариантно относительно операций введения и удаления фиктивных переменных.
Примеры: 1)=P2, следовательно [] = P2 (замыканием явл. сама сист.);
2) ={1, x1+x2}. Замыканием будет класс L линейных функций, т.е. фун-й, имеющих вид f=(x1,…xn)=c0+c1x1+…+cnxn, где с1=0(фиктивные переменные)или 1(существенные).
Свойства замыкания:
[][[]]=[]
если 1 2, то [1] [2]
[1
2]
[1]
[2]
Определение 3. Класс (множество) называется (функционально) замкнутым, если []=.
Примеры: класс =P2 явл замкнутым; 2) класс ={1, x1+x2} не замкнут.
Следствие: Система будет полной, если ее замыкание совпадает с P2 ,[] = P2