26.Формулы. Реализация булевых функций формулами. Принцип двойственности.

Как и в обычной алгебре на базе элементарных функций строятся формулы, которые можно определить индуктивно. Пусть  – некоторое подмножество булевых функций. Тогда

a) каждая называется формулой над F;

b) если и  – формулы над F или символы булевых переменных, то выражение называется формулой над F.

Выражение в пункте b) можно найти с использованием двух простых операций: подстановки переменных, включающей в себя их переименование, перестановку и отождествление; бесповторной подстановки функций, позволяющей строить выражения , где  – либо формула, либо булева переменная, причем хотя бы одна отлична от переменной, а множества переменных, входящих в формулы и , не пересекаются.

При построении формул применяются переменные, множество связок и скобки, причем при опускании некоторых из них связка считается самой сильной, а связка  – сильнее любой другой двухместной связки. Каждая формула над F может быть получена из функций, принадлежащих F, применением сначала операции бесповторной подстановки функций (многократной), а затем однократной операции подстановки переменных.

Запись означает, что построена на функциях , а запись указывает на переменные, используемые при построении . и имеют одинаковое строение , если получена из путем замены .

Формуле над F по индукции сопоставим булеву функцию :

a) если , то формуле соответствует ;

b) если , где  – формулы над F или символы переменных, то формуле отвечает функция , где при либо тождественная функция (переменная), либо .

Формула реализует f и любую равную ей функцию, если f соответствует . Функция f, соответствующая формуле , называется суперпозицией функций из F. Строение формулы можно описать помеченным деревом. Так, формуле соответствует дерево рисунка 1

Функция называется двойственной к функции , если имеет место равенство . Класс S самодвойственных функций образуют функции, для которых .

Справедлив следующий принцип двойственности: если функция f реализуется формулой , то двойственная ей функция реализуется формулой , имеющей такое же строение, как и формула . С помощью этого принципа легко строится формула, реализующая функцию, двойственную к заданной функции.

27.Разложение булевых функций по переменным. Совершенная днф и совершенная кнф.

Для булевой переменной x и параметра  выражение

принимает значение 1 тогда и только тогда, когда .

Каждую функцию алгебры логики при можно представить в следующей форме:

,

где дизъюнкция берется по всем наборам переменных .

В частности при имеем разложение по переменной :

,

а при получаем представление:

,

называемое совершенной ДНФ (ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма).

Таким образом, имеет место

Теорема 1. Каждая булева функция может быть представлена в виде формулы через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию.

С помощью принципа двойственности находится представление:

,

называемое совершенной КНФ (КНФ – конъюнктивная нормальная форма).

Формулы и называются соответственно ДНФ и КНФ, если элементарные конъюнкции (дизъюнкции) в них попарно различны, а число l элементарных конъюнкций (дизъюнкций) называется их длиной.