3.2. Измерение связи между политомичными переменными (таблица сопряженности m X p ).

Если переменные, измеренные на номинальной шкале, имеют более двух градаций, то они называются политомичными. Измерение связи между такого рода переменными осуществляется с помощью специальных показателей – коэффициентов взаимной сопряженности. К коэффициентам взаимной сопряженности относятся коэффициенты К.Пирсона, А.Чупрова, Г.Крамера.

Коэффициенты взаимной сопряженности основаны на критерии хи – квадрат Пирсона. Эти меры связи принимают значения в интервале от 0 до +1. Равенство нулю любого из этих показателей означает отсутствие связи, т.е. полную независимость, а равенство единице - полную связь между переменными.

Если переменная X имеет m – градаций, а переменная Y имеет p – градаций, то таблица сопряженности переменных X и Y размером m x p будет иметь следующий вид:

Таблица 3.3. Таблица сопряженности между политомичными переменными размером m x p

y x	1	2	…j…	p	Всего
1 2 … I … m	… … … … … …	… … … … … …	… … … … … …	… … … … …	… … nx
Итого

Такая таблица используется для расчета различных коэффициентов взаимной сопряженности:

- коэффициент взаимной сопряженности Пирсона (3.6)

- коэффициент взаимной сопряженности Чупрова (3.7)

- коэффициент взаимной сопряженности Крамера (3.8)

В представленных выше формулах - показатель взаимной сопряженности, который вычисляется следующим образом:

или (3.9)

Считается, что коэффициент взаимной сопряженности Чупрова более строго оценивает тесноту связи, чем показатель Пирсона, так как коэффициент

Пирсона не достигает максимального значения +1 даже при полной связи переменных, он лишь стремиться к этому значению при увеличении числа градаций переменных. Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова характеризует долю фактической сопряженности переменных в их полной сопряженности, а квадрат этого показателя имеет смысл коэффициента детерминации.

Коэффициент взаимной сопряженности Крамера рассчитывается только для неквадратных таблиц сопряженности и учитывает минимальную из величин: или число строк, или число столбцов таблицы сопряженности.

Пример 3.2. Имеются данные о распределении студентов четырех факультетов экономического вуза, оценивавших степень сложности математических дисциплин, изучаемых в вузе:

Таблица 3.4. Таблица сопряженности между переменными « место учебы респондента (факультет)» и «оценка степени сложности математических дисциплин, изучаемых в вузе».

Факультет	Оценка степени сложности математических дисциплин				Всего
	Очень сложные	Не очень сложные	Совсем не сложные	Затрудняюсь ответить
Экономический Финансовый Менеджмента Коммерции	31 17 4 8	35 13 2 5	35 14 1 4	35 9 1 3	136 53 8 20
Итого	60	55	54	48	217

Определить коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова.

Решение:

;

Вывод: Связь между оценкой студентами степени сложности математических дисциплин и местом их обучения (факультетом) слабая, т.е. такая оценка практически не зависит от факультета, на котором учатся студенты.

Cуществуют модификации коэффициентов Пирсона и Чупрова, основанные на -критерии Пирсона. Модифицированный коэффициент взаимной сопряженности Пирсона вычисляется по формуле:

(3.10) , где (3.11)

Модифицированный коэффициент сопряженности Чупрова вычисляется следующим образом:

, (3.12)

где k₁ – число строк в таблице;

k₂ – число граф в таблице;

n – число наблюдений.