Объём реализации, тыс. Руб.

ti	1	2	3	4	5	6	7	8	9
yti	10,00	11,00	11,42	11,33	11,87	11,77	12,22	12,15	?

Необходимо:

1. Оценить наличие и степень тесноты связи между y_t и t;

2. Определить вид математической модели, описывающий связь между y_t и t;

3. Осуществить прогноз показателя y_t на 9-й год.

Формирование прогноза можно представить состоящим из следующих этапов

Шаг 1. Определить наличие и степень тесноты связи между y_t и t;

1.1 Вычисляем точечную оценку коэффициента корреляции по формуле 1.1. Для упрощения расчетов рекомендуется заполнить таблицу:

Таблица 5.2

Результаты расчётов по оценке коэффициента корреляции

ti	yti	yti ti	ti2	yti2
1	10,00	10,00	1	100,0
2	11,00	22,00	4	121,0
3	11,42	34,26	9	130,4
4	11,33	45,32	16	128,4
5	11,87	59,35	25	140,9
6	11,77	70,62	36	138,5
7	12,22	85,54	49	149,2
8	12,15	97,20	64	147,6
Σ 36	91,76	424,29	204	1056,1

Тогда

.

1.2. Проверяем значимость коэффициента парной корреляции (1.2)

t^*= 0,914

при к = 6 и р = 1 - = 0,975

Так как , то гипотеза о равенстве r_yt нулю отвергается, что означает, что коэффициент корреляции значим. Следовательно, величина y_t зависит от факта времени.

Шаг 2. Выбираем математическую модель зависимости y_t и t.

2.1. Строим график зависимости y_t от t.

Рис. 5.1 Зависимость y_t от t

2.2. По внешнему виду график сложно определить, какой вид математической модели наилучшим образом воспроизводит зависимость y_t от t. Так как наиболее простым видом зависимости является линейная, то произведем расчет параметров тренда для прямолинейной связи.

2.3. Расчет параметров тренда по методу наименьших квадратов связан с решением системы уравнения:

(5.1)

Решение данной системы позволяет определить коэффициент a и b уравнение тренда

Шаг 3 расчет критериев точности полученой модели:

3.1. Определим расчетные значения моделируемого показателя, подставляя значения аргументов в уравнение тренда.

3.2. Рассчитаем отклонение y_t от t.

3.3. Находим среднее квадратическое отклонение. Для удобства вычислений заполняем промежуточную расчетную таблицу:

Таблица 5.1

Результаты промежуточных расчётов при оценке

среднеквадратического отклонения

yt		yt-	( )2
10,00	10,53	0,53	0,2809	0,0281
11,00	10,8	0,20	0,0400	0,0036
11,42	11,23	0,19	0,0361	0,0032
11,33	11,34	0,01	0,0001	0,0000
11,87	11,61	0,26	0,0676	0,0057
11,77	11,88	0,11	0,0121	0,0010
12,22	12,15	0,07	0,0049	0,0004
12,15	12,34	0,19	0,0361	0,0030
			0,4778

.

Определяем среднюю относительную ошибку и корреляционное отношение (3.3) и (3.4)

Расчеты показывают близость значений r_yt и , подтверждает правильность выбранной модели (незначительные расхождения в результате объясняются округлением).

Кроме того, близость к единице свидетельствует о надежности и сущности связи между y_t и t.

Шаг 4. Прогнозирование показателя y_t.

4.1 Расчет ограниченной оценки прогноза показателя осуществляем подстановкой величины t_i = 9 в полученное уравнение тренда.

= 10,26 +0,27 * 9 = 12,69

4.2 Расчет интервальной оценки прогноза осуществляется по зависимости (4.1)

где - статистика Стьюдента по таблицам приложения в зависимости от к = n – 2 = 6 и уровне значимости .

Тогда .

Доверительный интервал прогноза показателя

То есть прогнозная величина будет находиться в интервале .

Разработка сезонного прогноза

При прогнозировании экономических показателей, подверженных влиянию сезонных колебаний, возможно применение следующих способов:

1. Метода экстраполяции с учетом сезонности;

2. Гармоник ряда Фурье.

В первом случае, зная уравнение тренда и средние индексы сезонности, можно спрогнозировать последующие уровни ряда. В общем виде

(2.1)

Рассмотренная схема учета «сезонной волны» (умножение тренда на индекс сезонности) является мультипликативной.

Возможна и другая схема учета сезонной волны - аддитивная, когда к тренду прибавляется средняя величина абсолютных отклонений фактических уровней от выравненных

(2.2)

где - прогнозируемый уровень;

— теоретический уровень, рассчитанный по аналитической функции f(t).

Прогнозирование вторым методом проводят на основе гармонического анализа рядов динамики, который выполняют, представляя временной ряд как совокупность гармонических колебательных процессов. Для каждой точки этого ряда справедливо выражение (ряд Фурье)

(2.3)

В формуле (2.3) k определяет номер гармоники, который используется с различной степенью точности (обычно от 1 до 4). При решении уравнения (2.3) параметры определяются на основе положений метода наименьших квадратов.

Найдя частные производные этой функции и приравняв их к нулю, получим систему нормальных уравнений, решение которой дает следующие формулы для вычисления параметров:

(2.4)

(2.5)

(2.6)

При анализе ряда внутригодовой динамики по месяцам значение n принимается за 12. Представляя месячные периоды как части окружности, ряд внутригодовой динамики можно записать в таком виде:

Периоды ( )

0

Уровни ( )

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

y10

y11

y12

Используем указанные методы для прогнозирования выработки энергии.

В первом случае найдем последующие уровни производства энергии, рассчитав выровненные по прямой значения показателя и скорректировав их на индексы сезонности.

Для прямолинейной функции параметры находятся из системы уравнений

(2.7)

Полученная модель тренда имеет следующий вид

= -2,27*t + 546,02 (2.8)

Теоретические уровни и прогнозные значения показателя производства энергии, рассчитанные по модели (2.8) с учетом индексов сезонности представлены в таблице (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Теоретические уровни и прогнозные значения показателя

1999	1	733,0	2000	1	720,7	2001	1	708,5	2002	1	696,3
	2	369,3		2	363,1		2	356,9		2	350,7
	3	358,0		3	352,0		3	346,0		3	339,9
	4	700,2		4	688,3		4	676,5		4	664,6

Теперь найдем последующие уровни показателя производства энергии с помощью ряда Фурье.

Применяя первую гармонику ряда Фурье, определяются параметры уравнения (2.3):

по формуле (2.4) а₀=531,3;

по формуле (2.5) а₁=234;

по формуле (2.6) b₁=74,8.

По полученным параметрам синтезируется математическая модель:

y_t = 531,3+234*cos(t)+74,8*sin(t) (2.9)

На основании модели (2.7) определяются для каждого квартала расчетные уровни y_ti, которые приведены в таблице (табл. 2.2).

Таблица 2.2