5. Аппроксимация экспонентой

Данная функция имеет следующий вид:

Воспользуемся приемом из пункта 1.4 и прологарифмируем выражение:

Введем обозначение:

Таким образом мы можем вновь придти к нахождению коэффициентов линейной функции следующего вида:

Однако для нахождения коэффициентов необходимо прологарифмировать значения функции из таблицы 1.1, как показано в таблице 1.3.

Таблица 1.3 – Таблица с прологарифмированными значениями функции

После нахождения коэффициентов необходимо найти значение по следующей формуле:

Как и в предыдущем случае, из-за логарифмирования, на точки функции накладывается ограничение - все они должны находится в первой или второй четвертях координатной оси.

6. Аппроксимация дробно-линейной функцией

В данном случае идет поиск коэффициентов функции следующего вида:

Перепишем равенство следующим образом:

Из последнего равенства видно, что для нахождения коэффициентов, нужно составить по таблице 1.1 новую таблицу 1.4.

Таблица 1.4 – Таблица для нахождения коэффициентов для дробно-линейной функции

Послед этого нужно найти коэффициенты по формуле для линейной функции. Из того, что для нахождения обратных значений функции требуется деление, то значение функции не должно быть равны нулю в узловых точках, в крайнем случае такие точки нужно будет попустить при расчете.

7. Аппроксимация дробно-рациональной функцией

Дробно-рациональная функция имеет следующий вид:

Для того, чтобы найти ее коэффициенты, преобразуем ее к следующему виду:

Если в исходной функции аргументы и значения функции изменить на обратные, то задача вновь сводится к нахождению коэффициентов прямой.

Для расчетов, нужно по таблице 1.1 составить таблицу 1.5.

Таблица 1.5 – Таблица для нахождения дробно-рациональной функции

После преобразования таблицы, можно находить коэффициенты по формуле для линейной функции. Аргументы функции и ее значения в таблице не должны принимать нулевые значения. Если же этого не избежать, то такие точки нужно будет исключить из расчета.

2. Математическая постановка задачи аппроксимации функции

1. Аппроксимация полиномом

Входные данные:

Множество точек такое, что

.

- требуемая степень полинома

Выходные данные:

Множество - коэффициенты полинома

Аналитическое решение:

Алгоритм аппроксимации полиномом:

1. - матрица для решения

2. - вектор ответов

3. Для от 0 до делать

3.1) Для от 0 до делать

3.1.1) Для от 0 до делать

3.1.1.1)

3.1.1.1) Конец делать по

3.1.1) Конец делать по

3.1) Конец делать по

4. Для от 0 до делать

4.1) Для от 0 до делать

4.1.1)

4.1.1) Конец делать по

4.1) Конец делать по

5) Решаем СЛАУ .

6) Вернуть

Графическое представление алгоритма:

На рисунке 2.1 представлена схема алгоритма.

Рисунок 2.1 – Графическое представление алгоритма

2. Аппроксимация различными кривыми, нахождение коэффициентов которых сводиться к нахождения коэффициентов прямой

Входные данные:

Множество точек такое, что

.

Выходные данные:

ккоэффициенты функции

Аналитическое решение:

где - для линейной функции,

- для степенной функции,

- для экспоненты,

- для дробно-линейной функции

- для дробно-рациональной функции.

Алгоритм решения поставленной задачи:

1. 

2. Для каждого элемента провести преобразования по таблицам 1.1-1.5 (в зависимости от того, какого вида функцию необходимо найти)

3. Для от 0 до n делать

3.1)

3.2)

3.3)

3.4)

3.5) Конец делать по

4)

5) Если ищем экспоненту или степенную функцию, то иначе

Графическое представление алгоритма:

На рисунке 2.2 изображена схема алгоритма.

Рисунок 2.2 – Схема алгоритма решаемой задачи