Раздел IV

9. Физика твердого тела а) Упругие свойства твердых тел, тепловое расширение и классическая теория теплоемкости твердых тел.

– относительное удлинение;

– относительное поперечное сжатие;

– механическое напряжение;

; – закон Гука;

– коэффициент Пуассона;

– линейное расширение твердых тел при нагревании;

– объемное расширение твердых тел при нагревании;

– связь коэффициентов линейного и объемного расширения для изотропных тел и для кристаллов с кубической решеткой;

– закон Дюлонга и Пти.

Таблица 2. Свойства твердых тел

Вещество	Относи-тельный атомный вес	Плот-ность, кг/м3	Коэффициент линейного теплового расширения, α.105 , К-1	Модуль Юнга, Е.10-10, Па	Предел прочности, σпр.10-8, Па
Алюминий	27	2600	2.4	6.9	1.1
Железо	56	7900	1.2	19.6	6
Латунь	-	8400	1.9	-	-
Медь	64	8600	1.7	11.8	2.4
Платина	195	21400	0.89	-	-
Сталь	-	7700	1.06	21.6	7.85
Цинк	65	7000	2.9	-	-

Б) Квантовые статистики. Энергия Ферми. Работа выхода. Контакт двух металлов.

– распределение Бозе-Эйнштейна; – химический потенциал;

– распределение Ферми-Дирака; здесь – энергия Ферми;

– энергия Ферми;

– температура Ферми;

– внешняя контактная разность потенциалов;

– внутренняя контактная разность потенциалов;

– температура вырождения.

В) Теплоемкость (квантовая теория)

– молярная теплоемкость кристалла по Дебаю при T<<T_D;

– количество теплоты, необходимое для нагревания тела;

– характеристическая температура Дебая;

– характеристическая температура Эйнштейна.

Г) Проводимость металлов и полупроводников. Температурная зависимость сопротивления металлов и полупроводников.

– зависимость сопротивления металла от температуры, где – температурный коэффициент сопротивления для чистых металлов;

– зависимость сопротивления собственного полупроводника от температуры, где ΔE – ширина запрещенной зоны;

– подвижность носителей тока;

– удельная электропроводимость.

д) p-n – переход

– сила тока, текущего через p-n – переход (U>0 для прямого включения и U<0 – для обратного).

Е) Термоэлектричество

– термоэлектродвижущая сила, где (T₂–T₁) – разность температур спаев термопары;

– удельная термо-ЭДС.

Примеры решения задач

Задача 10

Медная проволока натянута горячей при температуре 150⁰С между двумя прочными неподвижными стенами. При какой температуре, остывая, проволока разорвется? Считать, что закон Гука выполняется вплоть до разрыва проволоки.

Р ешение

Длина нагретой проволоки при температуре t₁ ; при этом проволока не деформирована ( не натянута). Длина остывшей до искомой температуры ненатянутой проволоки . Но, поскольку проволока закреплена между неподвижными стенами, она оказывается растянутой на . По закону Гука , где – относительное удлинение, σ=σ_пр. – механическое напряжение. Тогда ; или , откуда , и . Далее, . Подставим численные значения: .

Ответ: .

Задача 11

Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при температуре Т=0 К. Уровень Ферми для натрия равен 3.12 эВ. Плотность натрия равна 970 кг/м³.

Р ешение

Зная энергию Ферми, из формулы можно определить концентрацию электронов n: . Искомое отношение числа электронов к числу атомов равно отношению их концентраций: . Концентрацию атомов натрия можно найти, зная плотность: , где – число молей натрия, – его молярная масса, – объём, – число Авогадро.

Таким образом, . Преобразуем: и подставим численные значения: . Результат близок к единице, то есть на один атом натрия приходится приблизительно один свободный электрон, что согласуется с валентностью натрия, раной единице.

Ответ: .

З адача 12

Вычислить минимальную длину волны Дебая в титане, если его характеристическая температура равна 280 К, а скорость звука в нем v=6·10³ м/с.

Решение

Характеристическая температура Дебая определяется формулой: , откуда . Подставим численные значения: , что по порядку величины соответствует межатомным расстояниям в кристалле.

Ответ: .

Задача 13

Чему равно отношение числа свободных электронов в единице объема у висмута и сурьмы, если при нагревании одного из спаев на 100°С возникает термо-ЭДС, равная 0.011 В?

Р ешение

Термо-ЭДС пропорциональна разности температур спаев термопары: ε=ε₀(T₂–T₁)=ε₀^.ΔT, где – удельная термо-ЭДС. Тогда искомое отношение концентраций свободных электронов в двух разнородных металлах равно: . Подставим численные значения: .

Ответ: .

241. Какую длину должны иметь стальной и медный стержни при 0⁰С, чтобы при любой температуре стальной стержень был длиннее медного на 5 см?

242. Концы железной балки сечением 75 см² упираются в две стены. Температура 0⁰С. Определить силу, которая будет действовать на стены, если температура повысится на 20 К.

243. При каком растягивающем напряжении медный стержень получит такое же удлинение, как и при нагревании от 0⁰С до 100⁰С?

244. Какие силы надо приложить к концам латунного стержня с площадью поперечного сечения 10 см², чтобы не дать ему расшириться при нагревании от 0⁰С до 30⁰С?

245. Груз математического маятника подвешен на стальной проволоке длиной 1.2 м. На сколько изменится период колебаний маятника при увеличении температуры от 0⁰С до 50⁰С?

246. Вычислить по классической теории теплоемкости удельные теплоемкости кристаллов: алюминия, меди, платины. Относительные атомные массы алюминия, меди, платины 27, 63.5 и 195 соответственно.

247. Вычислить по классической теории теплоемкости удельные теплоемкости кристаллов KCl и CaCl₂. Относительные атомные массы калия, хлора и кальция 39, 35.5 и 40 соответственно.

248. К стальной проволоке радиусом 1 мм подвешен груз. Под действием груза проволока получила такое же удлинение, как при нагревании от 0⁰С до 20⁰С. Найти величину груза.

249. Пользуясь классической теорией теплоемкости, найти, во сколько раз удельная теплоемкость алюминия больше удельной теплоемкости платины. Относительные атомные массы алюминия и платины 27 и 195 соответственно.

250. Медная проволока натянута горячей при температуре 150⁰С между двумя прочными неподвижными стенами. При какой температуре, остывая, проволока разорвется? Считать, что закон Гука выполняется вплоть до разрыва проволоки.

251. При 0⁰С цинковый стержень имеет длину 200 мм, а медный 201 мм. Поперечные размеры их при 0⁰С одинаковы. При какой температуре их длины одинаковы? При какой температуре их объемы одинаковы?

252. Сколько атомов приходится на одну примитивную ячейку в кристаллах с простой, объемно-центрированной и гранецентрированной кубической структурой?

253. Алюминиевый диск, взятый при температуре 0⁰С, при нагревании до 100⁰С увеличил свой объем на 4.6 см³. Какое количество теплоты затрачено на нагревание?

254. Разность длин медного и алюминиевого стержней при любой температуре составляет 15 см. Какую длину при 0⁰С будут иметь эти стержни?

255. Пользуясь классической теорией теплоемкости, найти, из какого материала сделан металлический шарик массой 25 г, если для его нагревания от 10⁰С до 30⁰С потребовалось 117 Дж теплоты.

256. При нагревании некоторого металла от 0 до 500⁰С его плотность уменьшается в 1.027 раза. Найти для этого металла коэффициент линейного теплового расширения, считая его постоянным в данном интервале температур.

257. На нагревание медной болванки массой 1 кг, находящейся при температуре 0⁰С, затрачено 138 кДж. Во сколько раз при этом увеличился ее объем? Теплоемкость меди найти по закону Дюлонга и Пти. Относительная атомная масса меди равна 63.5.

258. -железо имеет кубическую объемно-центрированную структуру (а=2.86 ), -железо – кубическую структуру с центрированными гранями (а=3.56 ). Как изменится плотность железа при переходе его из - в -модификацию?

259. Найти разницу энергий (в единицах kT) между электро­ном, находящимся на уровне Ферми, и электронами, находящимися на уровнях, вероятности заполнения которых равны 0.20 и 0.80.

260. Металлы литий и цинк приводят в соприкосновение друг с другом при температуре 0 К. На сколько изменится концентрация электронов проводимости в цинке? Какой из этих металлов будет иметь более высокий потенциал? Плотности цинка и лития 7150 и 530 кг/м³ соответственно, относительные атомные массы – 65.4 и 6.9 соответственно.

261. Каково значение энергии Ферми и температуры Ферми у электронов проводимости двухвалентной меди? Выразить энергию Ферми в джоулях и электрон-вольтах. Плотность меди 8600 кг/м³, относительная атомная масса – 63.5.

262. При какой концентрации свободных электронов в кристалле температура вырождения электронного газа в нем равна 0°С?

263. Как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, если уровень расположен на 0.01 эВ ниже уровня Ферми и температура изменяется от 200 до 300 К?

264. Чему равна максимальная энергия электронов в серебре? Считать, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону.

265. Определить вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, лежащее ниже уровня Ферми на Е=0.05 эВ и выше уровня Ферми на Е=0.05 эВ в двух случаях:

а) температура металла Т=290К;

б) температура металла Т=58 К.

266. Вычислить максимальную скорость электронов в кристалле меди при Т=0 К. Чему равна длина волны де Бройля для этих электронов?

267. Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при температуре Т=0 К. Уровень Ферми для натрия равен 3.12 эВ. Плотность натрия равна 970 кг/м³.

268. Оценить температуру вырождения для калия, если принять, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. Плотность калия 860 кг/м³.

269. Определить максимальную скорость электронов в металле при Т=0 К, если уровень Ферми равен 5 эВ.

270. Вычислить энергию Ферми при 0 К для алюминия. Считать, что на каждый атом алюминия приходится три свободных электрона.

271. На какой высоте (в электронвольтах) от дна зоны проводимости находится уровень Ферми в одновалентном натрии, который содержит 2.5^.10²³ атомов/м³? Считать температуру равной 0 К.

272. Какова вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0.001 эВ ниже уровня Ферми, при температуре 18°С?

273. При какой температуре вероятность найти в проводнике электрон с энергией 0.5 эВ над уровнем Ферми равна 2%?

274. До какой температуры надо было бы нагреть класси­ческий электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной максимальной энергии свободных электронов в меди при T=0 К? Считать, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон.

275. Вычислить давление электронного газа в металличес­ком натрии при T=0 К, если концентрация свободных электронов в нем 2.5·10²² см^-3. Воспользоваться уравнением для давления идеального газа.

276. Определить вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, лежащее ниже уровня Ферми на Е=0.05 эВ и выше уровня Ферми на Е=0.05 эВ в двух случаях: а) температура металла 290 К; б) температура металла 58 К.

277. Вычислить максимальную скорость электронов в кристалле меди при Т=0 К. Чему равна длина волны де Бройля для этих электронов?

278. Чему равна длина волны де Бройля наиболее быстрых электронов в алюминии при Т=0 К?

279. Имеются два металла с концентрацией свободных электронов n₁=10²⁸м^-3 и n₂=10²⁹м^-3. Определить внутреннюю контактную разность потенциалов, возникающую при приведении этих металлов в соприкосновение.

280. Чему равна вероятность того, что в состоянии с энергией, равной энергии Ферми, будет находится свободный электрон?

281. Определить концентрацию свободных электронов при температуре 0 К. Энергию Ферми принять равной 1 эВ.

282. Определить отношение концентраций п₁/п₂ свободных электронов при Т=0 К в литии и цезии, если известно, что энергии Ферми в этих металлах соответственно равны 4.72 эВ и 1.53 эВ.

283. Определить максимальную скорость электронов в металле при Т=0 К, если энергия Ферми равна 5 эВ.

284. Oпределить концентрацию свободных электронов в металле при температуре Т=0 К, при которой энергия Ферми равна 6 эВ.

285. Определить максимальную скорость электронов в металле при абсолютном нуле, если энергия Ферми равна 57 эВ.

286. Полагая, что на каждый атом алюминия в кристалле приходится по три свободных электрона, определить максимальную энергию электронов при 0 К.

287. Удельная теплоемкость кристалла KaCl при температуре 10 К равна 830^.10^-4 Дж/(м^3.К). Оценить скорость звука в кристалле и его дебаевскую температуру. Постоянная решетки КаСl равна а=0.3 нм.

288. Оценить скорость распространения акустических колебаний в алюминии, дебаевская температура которого равна 396 К.

289. Найти частоту колебаний атомов серебра по теории Эйнштейна, если характеристическая температура Эйнштейна для серебра равна 165 К.

290. Определить максимальную частоту собственных колебаний в кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура равна 180 К.

291. Вычислить максимальную частоту Дебая, если известно, что молярная теплоемкость серебра равна 1.7 Дж/(моль·К) при Т=20 К. Считать условие Т<<T_D выполненным.

292. Температура Дебая для алмаза равна 2000 К. Вычислить удельную теплоемкость при температуре 30 К.

293. Молярная теплоемкость серебра при температуре 20 К равна 1.65 Дж/(К^.моль). Вычислить характеристическую температуру Дебая. Условие Т<<Т_D считать выполненным.

294. Вычислить по Дебаю удельную теплоемкость хлористого натрия при температуре Т_D/20. Условие Т<<Т_D считать выполненным.

295. Вычислить по теории Дебая теплоемкость цинка массой 100 г при температуре 10 К. Температура Дебая равна 300 К. Условие Т<<Т_D считать выполненным.

296. Вычислить минимальную длину волны Дебая в титане, если его характеристическая температура равна 280 К, а скорость звука в нем v=6·10³ м/с.

297. Найти максимальную энергию фонона, который может возбуждаться в кристалле, характеризуемом температурой Дебая, равной 300 К. Фотон какой длины волны обладал бы такой же энергией?

298. Какова (в эВ) максимальная энергия фононов в кристалле свинца, если его температура Дебая равна 94 К?

299. Германий и кремний кристаллизуются в решетки с близкими параметрами и имеют почти равные модули упругости. Оценить отношение их дебаевских температур.

300. Найти максимальную частоту собственных колебаний в кристалле железа, если при температуре T=20 К его удельная теплоемкость с=2.7 мДж/(г·К).

301. Можно ли считать температуры 20 и 30 К низкими для кристалла, теплоемкость которого при этих температурах равна соответственно 0.226 и 0.760 Дж/(моль·К)?

302. При нагревании кристалла меди массой 25 г от 10 К до 20 К ему было сообщено количество теплоты 0.80 Дж. Найти дебаевскую температуру для меди. Условие Т<<Т_D считать выполненным.

303. Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона (звукового кванта) в меди, дебаевская температура которой равна 330 К.

304. Найти частоту колебаний атомов серебра по теории Эйнштейна, если характеристическая температура Эйнштейна для серебра равна 165 К.

305. Определить максимальную частоту собственных колебаний в кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура равна 180 К.

306. Вычислить максимальную частоту Дебая, если известно, что молярная теплоемкость серебра 1.7 Дж/(моль· К) при Т=20 К. Считать условие Т<<Т_D выполненным.

307. При нагревании серебра массой 10 г от 10 К до 20 К было подведено 0.71 Дж теплоты. Определить характеристическую температуру Дебая серебра. Считать условие Т<< Т_D выполненным.

308. Определить теплоту, необходимую для нагревания кристалла калия массой 200 г от температуры 4 К до 5 К. Характеристическая температура Дебая для калия равна 100 К. Считать условие Т<<Т_D выполненным.

309. Германиевый кристалл, ширина запрещенной зоны в котором равна 0.72 эВ, нагревают от температуры 0⁰С до температуры 15⁰С. Во сколько раз возрастет его удельная электропроводимость?

310. При нагревании кремниевого кристалла от температуры 0⁰С до температуры 10⁰С его удельная электропроводимость возрастает в 2.28 раза. Определить ширину запрещенной зоны кремния.

311. Во сколько раз изменится при повышении температуры от 300 до 310 К проводимость: а) металла; б) собственного полупроводника, ширина запрещенной зоны которого 0.3 эВ?

312. Во сколько раз уменьшится сопротивление полупроводника при увеличении температуры на 10%, если его начальная температура 27⁰С, а ширина запрещенной зоны 0.6 эВ?

313. Найти минимальную энергию образования пары электрон - дырка в беспримесном полупроводнике, проводимость которого возрастает в 5 раз при увеличении температуры от 300 K до 400 К.

314. Собственный полупроводник (германий) имеет при некоторой температуре удельное сопротивление 0.48 Ом·м. Определить концентрацию носителей заряда, если подвижность u_n и u_р электронов и дырок соответственно равны 0.36 м²/(В·с) и 0.16 м²/(В·с).

315. Собственный полупроводник (германиевый) имеет при некоторой температуре удельное сопротивление 0.5 Ом^.м. Определить концентрацию носителей заряда, если подвижность u_n и u_р электронов и дырок соответственно равны 0.38 м²/(В·с) и 0.18 м²/(В·с).

316. p-n – переход находится под обратным напряжением 0.1 В. Его сопротивление 692 Ом. Каково сопротивление p-n – перехода при таком же прямом напряжении? Т=293 К.

317. Прямое напряжение, приложенное к p-n – переходу, равно 2 В. Во сколько раз возрастет сила тока через переход, если изменить температуру от 300 К до 273 К?

318. Термопара висмут-железо с постоянной 92 мкВ/Кл и сопротивлением 5 Ом присоединена к гальванометру с внутренним сопротивлением 100 Ом. Какую силу тока покажет гальванометр, если температура одного спая термопары 100⁰С, а другого 0⁰С?

319. Термодатчик создает термоэлектродвижущую силу 3 мкВ при разности температур спаев 1 К. Можно ли таким датчиком уверенно установить повышение температуры тела человека от 36.5 до 37⁰С, если потенциометр позволяет измерять напряжение с точностью до 1 мкВ?

320. Какое количество последовательно соединенных термопар надо взять, чтобы создать источник питания с ЭДС, равной 1 В, для кардиостимулятора за счет разности температур внешних и внутренних органов, считая ее равной 1 К? Использовать термопары железо-платина, для которых термоэлектрическая постоянная равна 18.1^.10^-6 В/К.

321. Сила тока в цепи, состоящей из термопары сопротивлением 4 Ом и гальванометра сопротивлением 80 Ом, равна 26 мкА при разности температур спаев 50 К. Определить постоянную термопары.

322. Какое минимальное изменение температуры можно определить с помощью термопары железо-константан, если гальванометр с сопротивлением 20 Ом имеет чувствительность 10^-9 А/дел? Постоянная термопары 50 мкВ/К, а ее сопротивление 5 Ом.

323. Чему равно отношение числа свободных электронов в единице объема у висмута и сурьмы, если при нагревании одного из спаев на 100°С возникает термо-ЭДС, равная 0.011В?

324. Работа выхода электронов из меди 4.47 эВ, а из свинца – 3.74 эВ. Какова внешняя контактная разность потенциалов этих металлов? Считать концентрации электронов проводимости одинаковыми.

325. Вычислить характеристическую температуру Дебая для железа, если при температуре 20 К молярная теплоемкость железа равна 0.226 Дж/(К^.моль). Условие Т<<Т_D считать выполненным.

326. Медный образец массой 100 г находится при температуре 10 К. Определить теплоту, необходимую для нагревания образца до температуры 20 К. Температура Дебая для меди равна 300 К, относительная атомная масса – 63.5.

327. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, определить коэффициент упругости связи атомов в кристалле алюминия. Температура Эйнштейна для алюминия равна 300 К, относительная атомная масса – 27.

328. Найти минимальную энергию, необходимую для образования пары электрон-дырка в кристалле полупроводника, если его удельная проводимость изменяется в 10 раз при изменении температуры от 20⁰С до 3⁰С.

329. Сопротивление p-n – перехода, находящегося под прямым напряжением 0.2 В, равно 10 Ом. Определить сопротивление p-n – перехода при таком же обратном напряжении. Т=293 К.

330. Определить сопротивление гальванометра с ценой деления шкалы 5 мкА/дел, если сопротивление термопары 6 Ом и ею можно измерить минимальное изменение температуры 6 мК, отклонение стрелки гальванометра при этом равно 1 делению. Термоэлектрическая постоянная термопары 50 мВ/К.