Лекции 8-9-10-11. Методы интерполяции

Интерполяция – это задача нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору значений.

Пусть функция задана таблицей n значений:

То есть .

Точки называются интерполяционными узлами.

Задача интерполяции состоит в том, чтобы вычислить значение в точке .

Решается эта задача построением по исходной информации из таблицы функции , которая близка к и имеет аналитическое представление. После этого предполагается, что , и используется для получения неизвестного значения .

Классическая постановка задачи интерполяции состоит в построении такой функции , что .

13.Интерполяция обобщёнными многочленами

Широко используется функция вида

где система функций - это базисные функции, - порядок обобщённого многочлена, - параметры обобщённого многочлена.

Конкретный вид обобщённого многочлена определяется значением параметров .

Обобщённый многочлен является интерполяционным, если . Это правило может быть записано в виде СЛАУ с неизвестными :

Решением этой СЛАУ и будут являться коэффициенты .

Наиболее простой случай – интерполирование алгебраическими многочленами вида , где - количество интерполяционных узлов.

В этом случае постановка задачи интерполяции может быть записана в виде , или в форме СЛАУ:

Соответственно, задача сводится к её решению и нахождению .

Отметим, что эта система всегда имеет хотя бы одно решение так как её определитель всегда отличен от нуля.

Всегда существует единственный интерполяционный многочлен, удовлетворяющий условию .

На практике широко используется интерполяционный многочлен Лагранжа.

Пусть функция задана таблицей. Введём вспомогательный многочлен следующего вида:

Очевидно, что - многочлен первого порядка степени , и для него выполняются следующие равенства:

Тогда многочлен , записанный в виде:

является интерполяционным многочленом Лагранжа.

Задача 8.1.

Функция задана следующей таблицей:

Построить многочлен Лагранжа и найти .

Решение. , значит многочлен Лагранжа имеет вторую степень:

Многочлен Лагранжа:

Значение :

14.Кусочно-полиномиальная интерполяция

Кусочно-полиномиальная интерполяция используется для большого числа интерполяционных узлов, когда от одного полинома проку мало. Суть данного метода в том, что отрезок разбивается на подотрезки, на каждом из которых строится свой полином. Важное условие – на концах этих отрезков линия не должна прерываться.

Рассмотрим кусочно-полиномиальную интерполяцию на следующей задаче.

Задача 8.2.

	0	1	2	3	4
	1.0	1.8	2.2	1.4	1.0

Разобьём отрезок на части и , и построим многочлены Лагранжа соответственно и .

В результате вычислений получается:

Главное условие кусочно-полиномиальной интерполяции выполняется.

Но, с другой стороны, если посчитать производные, то мы увидим основной недостаток данного метода:

В точке соединения двух полиномов первая производная имеет разрыв, то есть функция не обладает свойством гладкости.

На практике часто требуется, чтобы аппроксимирующая функция была гладкой (чтобы производная была непрерывна). Тогда метод кусочно-полиномиальной интерполяции неприменим.