10.Число обусловленности

Если между абсолютными погрешностями установлено неравенство

То величину назовём абсолютным числом обусловленности.

А если установлено следующее неравенство между относительными погрешностями

То величину назовём относительным числом обусловленности.

Следует отметить, что в этих двух неравенствах с тем же успехом вместо и можно пользоваться и .

11.Обусловленность задачи вычисления ои

Вот наша вычислительная задача

Попробуем определить её обусловленность.

Пусть - приближённо заданная интегрируемая функция и её интеграл равен .

Определим абсолютную погрешность функции с помощью равенства:

- это «супремум» - «точная верхняя грань». Супремумом подмножества X упорядоченного множества M называется такой элемент , который больше либо равен всем элементам множества X.

Тогда абсолютное число обусловленности равно

Теперь посчитаем относительное число обусловленности.

Положим .

Тогда используя неравенство, получаем:

То есть

Тогда

Тогда относительное число обусловленности равно:

Выводы.

1. Если знакопостоянна на , то , и задача вычисления определённого интеграла хорошо обусловлена.

2. Если на принимает значения разных знаков, то .

3. Если не является сильно осциллирующей (относительно нуля) функцией на отрезке , то и задача является плохо обусловленной.

12.Обусловленность задачи решения слау

Предположим, что элементы A заданы точно, а вектор-столбец b – приближённо.

Пусть - приближённое решение СЛАУ, - точное решение СЛАУ.

Тогда - абсолютная погрешность решения СЛАУ.

Невязка – это погрешность в результате вычислений:

Погрешность e и невязка r связаны соотношением

Абсолютные и относительные погрешности вектора:

Лемма. Для погрешности приближённого решения СЛАУ справедлива следующая оценка: .

Доказательство. .

Последнее преобразование согласно свойству нормы .

Теорема. Пусть - точное решение системы , в которой является приближением к . Тогда верны следующие оценки абсолютной и относительной погрешностей:

где - абсолютное число обусловленности, - относительное (естественное) число обусловленности, которое зависит от и характеризует коэффициент возможного возрастания относительной погрешности решения , вызванном погрешностью задания правой части.

Вычислим максимальное значение естественного числа обусловленности, используя определение нормы матрицы:

, также обозначаемое как (сокр. от «condition number»)

- стандартное число обусловленности матрицы .

Следствие. Справедлива оценка .

Если , то СЛАУ плохо обусловлена, то есть найдётся такое решение СЛАУ, которое обладает высокой чувствительностью к малым погрешностям правой части .

Задача 7.1.

Дана СЛАУ

решение которой с точностью до трёх знаков .

Предположим, что вектор свободных членов данной СЛАУ получен не точно, а с погрешностью. Пусть он определён с точностью до 0.005: . Тогда решением системы, соответствующее этим свободным членам .

Вычислим относительную погрешность задания правой части:

Тогда относительная погрешность решения, соответствующего составляет

Это яркий пример плохо обусловленной задачи – в результате малого изменения свободных членов погрешность решения возросла аж в раз.

Теперь вычислим стандартное число обусловленности:

Стандартное число обусловленности намного больше единицы. Это очередное подтверждение того, что данная задача обусловлена очень плохо.