8.Абсолютная и относительная погрешности вектора
В качестве меры близости векторов
и
используют норму вектора
.
Введём понятия абсолютной и относительной погрешностей:
9.Норма матрицы
Нормой матрицы называется величина:
Норма матрицы обладает следующими свойствами:
всегда,
тогда и только тогда, когда матрица A
нулевая.
Верны также и следующие дополнительные свойства:
Наиболее часто используются следующие нормы:
- берётся максимальная из сумм модулей
элементов столбцов,
, где
- собственные числа матрицы
,
- берётся максимальная из сумм модулей
элементов строк,
- Евклидова норма.
Для оценки нормы
можно использовать неравенство
.
Норма матрицы имеет следующую геометрическую интерпретацию:
Геометрически это означает, что в пространстве вектор поворачивается и вытягивается:
- максимальный коэффициент растяжения
– характеризует максимальный коэффициент
растяжения вектора x
при воздействии на него линейного
преобразования A.
Можно показать, что
.
Задача 6.2.
Вычислить нормы матрицы
Решение.
Сначала разберёмся с самым лёгким:
Норму
рассчитать гораздо сложнее. Обычно
взамен её считают норму
и оценивают лишь её верхнюю границу.
Таким образом можно сказать что
.
Проверим это. Найдём матрицу и её собственные значения.
Теперь найдём её собственные значения.
Число
называется собственным значением
матрицы
,
если выполнено условие
.
(det – определитель
(«детерминант»),
- единичная матрица, в которой все
элементы главной диагонали – единицы,
а остальные – нули.).
Определитель этой матрицы
Теперь считаем собственные значения:
Вычисляем корни по любому из изученных методов:
Это и есть собственные числа матрицы .
Осталось только посчитать норму :
Как видите,
.
Лекция 7. Обусловленность вычислительной задачи
Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность её решения к малым погрешностям входных данных (т.е. к их малым изменениям).
Вычислительную задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных соответствуют малые погрешности решения, а плохо обусловленной – если возможны большие изменения данных.
Количественная мера степени обусловленности называется числом обусловленности. Эту величину можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к обусловившим их погрешность входным данным.
Используем следующие обозначения:
– вычислительная задача (модель); –
множество входных данных;
–
множество выходных данных.
Цель вычислительной задачи состоит в
нахождении решения
по заданному значению
.
Предположим, что x –
точное значение входных данных, y
– точное решение;
– приближённое значение входных данных,
– приближённое значение выходных
данных. Тогда простейшая количественная
мера ошибки – это абсолютная и
относительные погрешности:
Как определить, является ли погрешность
пренебрежимой величиной? Вот например,
-
это большая или маленькая погрешность?
Всё зависит от диапазона размещения x.
Если
,
то точность приближения невелика –
относительная погрешность составляет
–
по сравнению с
это достаточно значительная величина.
Если
,
то точность приближения можно считать
очень высокой:
.
Есть одно маленькое, но очень значительное
«но». Так как абсолютно точные значения
x и y
никогда неизвестны, то непосредственное
вычисление
просто невозможно. Поэтому более реальной
является оценка следующего вида.
Пусть
- это известные величины, которые являются
верхними границами абсолютных и
относительных погрешностей. Тогда:
Если величина
неизвестна, то условие
будет выполнено тогда, когда будет
выполнено неравенство
.